Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 8 стр.

квантовой теории, спину любой квантовой частицы должен соответ-
ствовать векторный линейный эрмитов оператор ŝ: ŝ† = ŝ. Обозначим
его декартовы компоненты (операторы проекций спина) ŝx , ŝy , ŝz . Для
операторов ŝi (i = x, y, z) постулируется, что они подчиняются тем же
коммутационным соотношениям, что и операторы проекций орбиталь-
ного момента ˆlx , ˆly , ˆlz :
                                  X
                [ŝk , ŝl ] = i}   εklm ŝm , k, l, m = x, y, z,    (1.2)
                                   m

где εklm — символ Леви–Чивита (см. [3] из списка основной литерату-
ры, приложение Б). Эти соотношения — основной постулат спинового
формализма, позволяющий, в частности, установить явный вид опе-
раторов ŝi для конкретных значений спинового квантового числа s.
Поскольку наличие спина не связано с орбитальным движением, под-
черкнем, что на языке теории представлений речь может идти только о
матричном представлении этих операторов. Размерность матриц рав-
на (2s + 1) × (2s + 1) и определяется значением s.
    В соответствии с гипотезой Уленбека и Гаудсмита для электрона
s = 1/2, а проекция спина на любое направление может принимать
только два значения: ±}/2. Всякий оператор диагонален в своем соб-
ственном представлении, поэтому количество собственных значений
операторов ŝi (два) определяет размерность матричного представления
этих операторов: 2 × 2. Операторы проекций спина электрона удобно
представить в виде:
                                       }
                                  ŝi = σ̂i ,                     (1.3)
                                       2
где {σ̂x , σ̂x , σ̂x } называются матрицами (или операторами) Паули
(размерности 2 × 2) и имеют собственные значения ±1. Они состав-
ляют векторный оператор σ̂, так что ŝ = }2 σ̂. В соответствии с (1.2),
(1.3), матрицы Паули подчиняются перестановочным соотношениям:
                                   X
               [σ̂k , σ̂l ] = 2i       εklm σ̂m ,   k, l, m = x, y, z   (1.4)
                                   m


     Основные свойства матриц σ̂i (а с ними и операторов ŝi ) можно уста-
новить на основе лишь коммутационных соотношений, не используя
конкретного матричного представления. Поскольку собственные значе-
ния σ̂i равны ±1, квадрат σ̂i в своем собственном представлении есть
единичная двумерная матрица (или единичный двумерный оператор
1̂). А поскольку единичный оператор остается таковым в любом пред-
ставлении, ясно, что справедливы следующие общие соотношения:


                                             8