Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

так что в самом общем виде спинор задается тремя вещественными
параметрами
5
.
Оператор общего вида, действующий в пространстве спиноров, име-
ет вид матрицы 2 × 2 с ненулевыми элементами (комплексными чис-
лами). Действие такого оператора на спинор определяется правилом
умножения матрицы на столбец. Частным случаем спиновых операто-
ров являются матрицы Паули ˆσ
i
, по которым (вместе с
ˆ
1) может быть
разложен любой спиновый оператор (см. (1.12)). Точно так же по бази-
су собственных функций любого из (эрмитовых) операторов ˆσ
i
может
быть разложен произвольный спинор.
Особый интерес представляют собственные функции (собственные
спиноры) оператора ˆσ
z
(или ˆs
z
), реализующие s
z
-представление волно-
вых функций частицы со спином. Учитывая диагональный вид (1.11)
2 × 2 матрицы для ˆσ
z
в s
z
-представлении с собственными значениями
±1, решения уравнения
ˆσ
z
χ
±
= ±χ
±
(1.21)
находятся элементарно:
χ
m
s
=+1/2
≡ χ
+
=
1
0
!
; χ
m
s
=−1/2
≡ χ
−
=
0
1
!
. (1.22)
Действительно, эти спиноры образуют базис в пространстве спиноров,
поскольку
a
b
!
= a
1
0
!
+ b
0
1
!
.
1.4. Уравнение Паули
Как известно, волновая функция бесспиновой частицы находится
как решение уравнения Шредингера
i}
∂
∂t
Ψ(r, t) =
"
ˆ
p
2
2m
+ V (r)
#
Ψ(r, t). (1.23)
Обобщим теперь это уравнение на случай движения электрона с учетом
спина. Поскольку уравнение (1.23) не содержит операторов спина, оно
остается неизменным, и при учете спина вместо функции Ψ(r, t) нужно
использовать Ψ(r, s
z
; t) = Ψ(r, t)χ(s
z
). Гамильтониан при этом можно
формально умножить на единичную матрицу 2 × 2.
5
Например, a = exp(iα) sin δ, b = exp(iβ) cos δ.
13
так что в самом общем виде спинор задается тремя вещественными
параметрами 5 .
   Оператор общего вида, действующий в пространстве спиноров, име-
ет вид матрицы 2 × 2 с ненулевыми элементами (комплексными чис-
лами). Действие такого оператора на спинор определяется правилом
умножения матрицы на столбец. Частным случаем спиновых операто-
ров являются матрицы Паули σ̂i , по которым (вместе с 1̂) может быть
разложен любой спиновый оператор (см. (1.12)). Точно так же по бази-
су собственных функций любого из (эрмитовых) операторов σ̂i может
быть разложен произвольный спинор.
   Особый интерес представляют собственные функции (собственные
спиноры) оператора σ̂z (или ŝz ), реализующие sz -представление волно-
вых функций частицы со спином. Учитывая диагональный вид (1.11)
2 × 2 матрицы для σ̂z в sz -представлении с собственными значениями
±1, решения уравнения
                             σ̂z χ± = ±χ±                         (1.21)
находятся элементарно:
                                      !                              !
                                  1                              0
         χms =+1/2 ≡ χ+ =                 ;   χms =−1/2 ≡ χ− =           .   (1.22)
                                  0                              1

Действительно, эти спиноры образуют базис в пространстве спиноров,
поскольку                 !       !       !
                        a       1       0
                            =a      +b      .
                        b       0       1

1.4.      Уравнение Паули
   Как известно, волновая функция бесспиновой частицы находится
как решение уравнения Шредингера
                                "            #
                   ∂              p̂2
                i}    Ψ(r, t) =       + V (r) Ψ(r, t).    (1.23)
                   ∂t             2m

Обобщим теперь это уравнение на случай движения электрона с учетом
спина. Поскольку уравнение (1.23) не содержит операторов спина, оно
остается неизменным, и при учете спина вместо функции Ψ(r, t) нужно
использовать Ψ(r, sz ; t) = Ψ(r, t)χ(sz ). Гамильтониан при этом можно
формально умножить на единичную матрицу 2 × 2.
  5   Например, a = exp(iα) sin δ, b = exp(iβ) cos δ.



                                              13

Страницы