Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

становится матричным. В этом случае оно называется уравнением Па-
ули. Если ось Oz направить вдоль вектора B, уравнение Паули сводит-
ся к достаточно компактной системе двух уравнений для ψ
1,2
(r, t):
i}
∂ψ
1
∂t
=
(p −
e
c
A)
2
2m
+ V (r) + eϕ
ψ
1
−
e}B
2mc
ψ
1
;
i}
∂ψ
2
∂t
=
(p −
e
c
A)
2
2m
+ V (r) + eϕ
ψ
2
+
e}B
2mc
ψ
2
.
(1.30)
Уравнения (1.30) независимы и отличаются только знаком перед B. В
пределе B → 0 оба уравнения (1.30) переходят в исходное уравнение
Шредингера (1.23).
Выведем теперь уравнение непрерывности из уравнения Паули. Для
этого представим (1.28) в виде
i}
∂Ψ
∂t
=
ˆ
H
0
Ψ −
e}
2mc
(B
ˆ
σ)Ψ, (1.31)
где через
ˆ
H
0
обозначены слагаемые, не содержащие спиновых операто-
ров
ˆ
σ. Запишем эрмитово сопряженное к (1.31) уравнение:
−i}
∂Ψ
∂t
=
ˆ
H
∗
0
Ψ
†
−
e}
2mc
Ψ
†
(B
ˆ
σ
†
). (1.32)
Умножая теперь (1.31) на Ψ
†
слева, а (1.32) на Ψ справа и вычитая
одно уравнение из другого, получаем:
i}
∂
∂t
(Ψ
†
Ψ) = Ψ
†
(
ˆ
H
0
Ψ) − (
ˆ
H
∗
0
Ψ
†
)Ψ. (1.33)
При выводе (1.33) учтена самосопряженность
ˆ
σ. После вычислений,
аналогичных выводу уравнения непрерывности для бесспиновых ча-
стиц (проделать самостоятельно!), уравнение (1.33) приводится к виду:
∂
∂t
w(r, t) + div j = 0, (1.34)
совпадающему с уравнением непрерывности для плотности вероятно-
сти:
w(r, t) = Ψ
†
Ψ, (1.35)
и плотность потока вероятности:
j =
i}
2m
[(∇Ψ
†
)Ψ − Ψ
†
∇Ψ] −
e
mc
AΨ
†
Ψ. (1.36)
15
становится матричным. В этом случае оно называется уравнением Па-
ули. Если ось Oz направить вдоль вектора B, уравнение Паули сводит-
ся к достаточно компактной системе двух уравнений для ψ1,2 (r, t):
                                             
              ∂ψ1     (p − ec A)2                          e}B
           i}     =               + V (r) + eϕ ψ1 −            ψ1 ;
               ∂t        2m                                2mc
                                                                    (1.30)
              ∂ψ2     (p − ec A)2                          e}B
           i}     =               + V (r) + eϕ ψ2 +            ψ2 .
               ∂t        2m                                2mc

Уравнения (1.30) независимы и отличаются только знаком перед B. В
пределе B → 0 оба уравнения (1.30) переходят в исходное уравнение
Шредингера (1.23).
   Выведем теперь уравнение непрерывности из уравнения Паули. Для
этого представим (1.28) в виде

                            ∂Ψ            e}
                       i}      = Ĥ0 Ψ −     (B σ̂)Ψ,                 (1.31)
                            ∂t           2mc

где через Ĥ0 обозначены слагаемые, не содержащие спиновых операто-
ров σ̂. Запишем эрмитово сопряженное к (1.31) уравнение:

                         ∂Ψ              e} †
                  −i}       = Ĥ0∗ Ψ† −     Ψ (B σ̂ † ).              (1.32)
                         ∂t             2mc
Умножая теперь (1.31) на Ψ† слева, а (1.32) на Ψ справа и вычитая
одно уравнение из другого, получаем:
                      ∂
                 i}      (Ψ† Ψ) = Ψ† (Ĥ0 Ψ) − (Ĥ0∗ Ψ† )Ψ.           (1.33)
                      ∂t
При выводе (1.33) учтена самосопряженность σ̂. После вычислений,
аналогичных выводу уравнения непрерывности для бесспиновых ча-
стиц (проделать самостоятельно!), уравнение (1.33) приводится к виду:

                             ∂
                                w(r, t) + div j = 0,                  (1.34)
                             ∂t
совпадающему с уравнением непрерывности для плотности вероятно-
сти:
                         w(r, t) = Ψ† Ψ,                  (1.35)
и плотность потока вероятности:
                       i}                     e
               j=         [(∇Ψ† )Ψ − Ψ† ∇Ψ] −    AΨ† Ψ.               (1.36)
                      2m                      mc


                                       15

Страницы