Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Если же на квантовую систему действует внешнее электромагнит-
ное поле, то уравнение Шредингера (1.23) должно быть модифициро-
вано. Это необходимо, в частности, и при наличии только постоянного
внешнего магнитного поля B, поскольку электрон обладает собствен-
ным магнитным моментом µ с оператором
ˆ
µ =
e
mc
ˆ
s (1.24)
и в гамильтониан необходимо добавить слагаемое, учитывающее энер-
гию магнитного диполя в поле B:
∆V = −µB.
Оператор этой энергии, в соответствии с (1.24), имеет вид:
∆
ˆ
V = −
e
mc
(B
ˆ
s)
(1.3)
= −
e}
2mc
(B
ˆ
σ). (1.25)
Как известно, включение внешнего электромагнитного поля с по-
тенциалами ϕ и A приводит к следующим заменам в уравнении Шре-
дингера (1.23) для электрона:
ˆ
p →
ˆ
p −
e
c
A; V (r) → V (r) + eϕ. (1.26)
Напомним, что
B = rot A. (1.27)
При учете спина в правую часть уравнения (1.23) необходимо также
добавить слагаемое (1.25):
i}
∂Ψ
∂t
=
(p −
e
c
A)
2
2m
+ V (r) + eϕ
Ψ −
e}
2mc
(B
ˆ
σ)Ψ. (1.28)
Наличие оператора
ˆ
σ указывает, что функция Ψ в уравнении (1.28)
становится двухкомпонентной:
Ψ(r, t) ≡
ψ
1
(r, t)
ψ
2
(r, t)
!
. (1.29)
Заметим, что ψ
1
соответствует значению s
z
= +
}
2
, а ψ
2
— значению
s
z
= −
}
2
. Также подразумевается, что оператор в квадратных скобках,
а также производная по времени умножаются на единичную матрицу
2×2. Таким образом, модифицированное уравнение Шредингера (1.28)
14
   Если же на квантовую систему действует внешнее электромагнит-
ное поле, то уравнение Шредингера (1.23) должно быть модифициро-
вано. Это необходимо, в частности, и при наличии только постоянного
внешнего магнитного поля B, поскольку электрон обладает собствен-
ным магнитным моментом µ с оператором
                                      e
                               µ̂ =      ŝ                    (1.24)
                                      mc
и в гамильтониан необходимо добавить слагаемое, учитывающее энер-
гию магнитного диполя в поле B:

                              ∆V = −µB.

Оператор этой энергии, в соответствии с (1.24), имеет вид:

                            e       (1.3)  e}
                  ∆V̂ = −      (Bŝ) = −      (B σ̂).          (1.25)
                            mc            2mc
   Как известно, включение внешнего электромагнитного поля с по-
тенциалами ϕ и A приводит к следующим заменам в уравнении Шре-
дингера (1.23) для электрона:
                           e
                  p̂ → p̂ − A; V (r) → V (r) + eϕ.             (1.26)
                           c
Напомним, что
                              B = rot A.                       (1.27)
При учете спина в правую часть уравнения (1.23) необходимо также
добавить слагаемое (1.25):
                                        
          ∂Ψ     (p − ec A)2                   e}
       i}    =               + V (r) + eϕ Ψ −     (B σ̂)Ψ.  (1.28)
          ∂t        2m                        2mc

Наличие оператора σ̂ указывает, что функция Ψ в уравнении (1.28)
становится двухкомпонентной:
                                           !
                                 ψ1 (r, t)
                      Ψ(r, t) ≡              .            (1.29)
                                 ψ2 (r, t)

Заметим, что ψ1 соответствует значению sz = + }2 , а ψ2 — значению
sz = − }2 . Также подразумевается, что оператор в квадратных скобках,
а также производная по времени умножаются на единичную матрицу
2 × 2. Таким образом, модифицированное уравнение Шредингера (1.28)


                                   14

Страницы