Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

3.7. Релятивистские поправки к уравнению Шре-
дингера
В нерелятивистской теории наличие у электрона спина требовало
модификации уравнения Шредингера в присутствии внешних электро-
магнитных полей. В частности, наличие постоянного внешнего магнит-
ного поля требует замены уравнения Шредингера уравнением Паули
при анализе эффекта Зеемана. Более того, даже в отсутствии внешних
полей учет эффектов тонкой структуры при анализе спектров щелоч-
ных атомов требует введения оператора спин-орбитального взаимодей-
ствия. Уравнение Дирака позволяет последовательным образом полу-
чить указанные выше модификации уравнения Шредингера из точной
релятивистской квантовой теории, рассматривая предельный случай
c → ∞ (или (v/c) 1, где v — скорость электрона).
Напомним, что для частицы в электромагнитном поле, описывае-
мом скалярным и векторным потенциалами A
0
(r, t) и A(r, t), оператор
механического импульса
ˆ
p должен быть заменен на оператор канони-
ческого импульса, т. е.:
ˆ
p →
ˆ
p −
e
c
A(r, t), (3.57)
а к оператору Гамильтона добавляется потенциальная энергия
eA
0
(r, t). Таким образом, при наличии электромагнитного поля урав-
нение Дирака (3.33) с гамильтонианом (3.34) заменяется следующим
уравнением:
i}
∂Ψ
∂t
=
h
c
ˆ
α
ˆ
p −
e
c
A(r, t)
+ eA
0
(r, t) + mc
2
β
i
Ψ
(3.58)
а система матричных уравнений (3.39) в случае стационарных электро-
магнитных полей с потенциалами A
0
(r) и A(r) принимает вид:
(ε − eA
0
− mc
2
)ϕ = c
ˆ
σ
ˆ
p −
e
c
A
χ,
(ε − eA
0
+ mc
2
)χ = c
ˆ
σ
ˆ
p −
e
c
A
ϕ.
(3.59)
Рассмотрим некоторые частные предельные случаи уравнения Дирака
(3.59) для электрона в стационарном электромагнитном поле.
3.7.1. Вывод уравнения Паули из уравнения Дирака
Исследуем (3.59) для нерелятивистского движения в слабом поле,
когда выполняются неравенства:
ε = E
0
+ mc
2
, |E
0
− eA
0
| mc
2
.
72
3.7.     Релятивистские поправки к уравнению Шре-
         дингера
   В нерелятивистской теории наличие у электрона спина требовало
модификации уравнения Шредингера в присутствии внешних электро-
магнитных полей. В частности, наличие постоянного внешнего магнит-
ного поля требует замены уравнения Шредингера уравнением Паули
при анализе эффекта Зеемана. Более того, даже в отсутствии внешних
полей учет эффектов тонкой структуры при анализе спектров щелоч-
ных атомов требует введения оператора спин-орбитального взаимодей-
ствия. Уравнение Дирака позволяет последовательным образом полу-
чить указанные выше модификации уравнения Шредингера из точной
релятивистской квантовой теории, рассматривая предельный случай
c → ∞ (или (v/c)  1, где v — скорость электрона).
   Напомним, что для частицы в электромагнитном поле, описывае-
мом скалярным и векторным потенциалами A0 (r, t) и A(r, t), оператор
механического импульса p̂ должен быть заменен на оператор канони-
ческого импульса, т. е.:
                                    e
                           p̂ → p̂ − A(r, t),                  (3.57)
                                    c
а к оператору Гамильтона добавляется потенциальная энергия
eA0 (r, t). Таким образом, при наличии электромагнитного поля урав-
нение Дирака (3.33) с гамильтонианом (3.34) заменяется следующим
уравнением:
            ∂Ψ h        e       
                                                   2
                                                     i
         i}    = cα̂ p̂ − A(r, t) + eA0 (r, t) + mc β Ψ        (3.58)
            ∂t           c
а система матричных уравнений (3.39) в случае стационарных электро-
магнитных полей с потенциалами A0 (r) и A(r) принимает вид:
                                            e 
                               2
                  (ε − eA0 − mc )ϕ = cσ̂ p̂ − A χ,
                                            c               (3.59)
                               2             e
                  (ε − eA0 + mc )χ = cσ̂ p̂ − A ϕ.
                                             c
Рассмотрим некоторые частные предельные случаи уравнения Дирака
(3.59) для электрона в стационарном электромагнитном поле.

3.7.1.    Вывод уравнения Паули из уравнения Дирака
   Исследуем (3.59) для нерелятивистского движения в слабом поле,
когда выполняются неравенства:
                 ε = E 0 + mc2 ,    |E 0 − eA0 |  mc2 .

                                   72

Страницы