Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

[E
0
− V (r)]ϕ = c
ˆ
σ
ˆ
pχ, (3.63)
[2mc
2
+ E
0
− V (r)]χ = c
ˆ
σ
ˆ
pϕ. (3.64)
Вычислим из уравнения (3.64) функцию χ с точностью до первой степени
отношения (E
0
− V )/(mc
2
). Подставляя значение
χ =
1 −
E
0
− V
2mc
2
ˆ
σ
ˆ
p
2mc
ϕ
в уравнение (3.63), приходим к уравнению для функции ϕ:
(E
0
− V )ϕ =
ˆ
σ
ˆ
p
2m
1 −
E
0
− V
2mc
2
ˆ
σ
ˆ
p ϕ . (3.65)
Для преобразования правой части (3.65) воспользуемся вспомогательным
тождеством
(
ˆ
σ
ˆ
p)f(r)(
ˆ
σ
ˆ
p)
(3.41)
= f(r)
ˆ
p
2
− i}{(grad f)
ˆ
p + i
ˆ
σ[(grad f) ×
ˆ
p]}.
Тогда уравнение (3.65) приобретает вид:
ˆ
H
0
ϕ = E
0
ϕ, (3.66)
где
ˆ
H
0
=
1 −
E
0
− V
2mc
2
ˆ
p
2
2m
+ V +
}
ˆ
σ
4m
2
c
2
[(grad V ) ×
ˆ
p] −
i}
4m
2
c
2
(grad V )
ˆ
p. (3.67)
Чтобы последовательно учесть в (3.66) все слагаемые вплоть до порядка
v
2
/c
2
, следует помнить, что функция ϕ, согласно (3.53), нормирована с этой
точностью условием
1
e
Z
ρ
e
(r) d
3
r =
Z
ϕ
†
1 +
ˆ
p
2
4m
2
c
2
ϕ d
3
r = 1, (3.68)
которое отличается от обычного условия нормировки hϕ|ϕi = 1. Поэтому
вместо функции ϕ удобно ввести другую функцию:
Φ = ˆgϕ, (3.69)
такую, чтобы для нее выполнялось обычное условие нормировки:
Z
Φ
†
Φ d
3
r =
Z
ϕ
†
ˆg
†
ˆgϕ d
3
r = 1. (3.70)
Сравнивая (3.70) с (3.68), можно найти явный вид неунитарного оператора
ˆg (с точностью до несущественного фазового множителя):
ˆg =
1 +
ˆ
p
2
4m
2
c
2
1
2
≈ 1 +
ˆ
p
2
8m
2
c
2
. (3.71)
74
                                        [E 0 − V (r)]ϕ = cσ̂p̂χ,                     (3.63)
                               [2mc2 + E 0 − V (r)]χ = cσ̂p̂ϕ.                       (3.64)
Вычислим из уравнения (3.64) функцию χ с точностью до первой степени
отношения (E 0 − V )/(mc2 ). Подставляя значение
                                          
                                    E0 − V   σ̂p̂
                         χ= 1−           2
                                                  ϕ
                                     2mc     2mc

в уравнение (3.63), приходим к уравнению для функции ϕ:
                                                
                      0         σ̂p̂      E0 − V
                    (E − V )ϕ =        1−          σ̂p̂ ϕ .                          (3.65)
                                2m         2mc2

Для преобразования правой части (3.65) воспользуемся вспомогательным
тождеством
                              (3.41)
             (σ̂p̂)f (r)(σ̂p̂) = f (r)p̂2 − i}{(grad f )p̂ + iσ̂[(grad f ) × p̂]}.

Тогда уравнение (3.65) приобретает вид:

                                             Ĥ 0 ϕ = E 0 ϕ,                         (3.66)

где
                        
     0          E0 − V       p̂2       }σ̂                        i}
 Ĥ =        1−                  +V +        [(grad V ) × p̂] −        (grad V )p̂. (3.67)
                 2mc2        2m         2
                                      4m c 2                    4m2 c2

   Чтобы последовательно учесть в (3.66) все слагаемые вплоть до порядка
v /c2 , следует помнить, что функция ϕ, согласно (3.53), нормирована с этой
 2

точностью условием
                   Z             Z               
                 1           3              p̂2
                                   †
                     ρe (r) d r = ϕ 1 +       2 2
                                                    ϕ d3 r = 1,       (3.68)
                 e                        4m c

которое отличается от обычного условия нормировки hϕ|ϕi = 1. Поэтому
вместо функции ϕ удобно ввести другую функцию:

                                               Φ = ĝϕ,                              (3.69)

такую, чтобы для нее выполнялось обычное условие нормировки:
                     Z           Z
                       Φ Φ d r = ϕ† ĝ † ĝϕ d3 r = 1.
                         †  3
                                                                                     (3.70)

Сравнивая (3.70) с (3.68), можно найти явный вид неунитарного оператора
ĝ (с точностью до несущественного фазового множителя):
                                                    12
                                            p̂2                 p̂2
                             ĝ =       1+                 ≈1+        .              (3.71)
                                           4m2 c2              8m2 c2


                                                  74

Страницы