Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Преобразование функций (3.69) должно сопровождаться соответствую-
щим преобразованием гамильтониана H
0
в уравнении (3.66), чтобы это урав-
нение приобрело вид
ˆ
HΦ = E
0
Φ:
ˆ
H
0
→
ˆ
H = ˆg
ˆ
H
0
ˆg
−1
(3.71)
=
=
ˆ
p
2
2m
+ V (r) −
[E
0
− V (r)]
2
2mc
2
+
}
ˆ
σ
4m
2
c
2
[(grad V ) ×
ˆ
p] −
}
2
8m
2
c
2
∇
2
V (r).
(3.72)
Первые два слагаемых в (3.72) соответствуют нерелятивистскому гамиль-
тониану. Остальные слагаемые учитывают все релятивистские поправки по-
рядка v
2
/c
2
. В этом легко убедиться, если учесть, что
} grad V ∼
}V
a
∼ pV и }
2
∇
2
V ∼
}
2
V
a
2
∼ p
2
V,
где a — характерный размер системы.
Итак, релятивистскую поправку к гамильтониану нерелятивистской ча-
стицы со спином
1
2
в потенциальном поле V (r) можно представить в виде:
ˆ
W =
ˆ
V
D
+
ˆ
V
r
+
ˆ
V
so
.
Здесь
ˆ
V
D
= −
}
2
8m
2
c
2
∇
2
V
— так называемая поправка Дарвина (или оператор контактного взаимодей-
ствия). В кулоновском поле V (r) = −Ze
2
/r:
ˆ
V
D
= −
π}
2
e
2
Z
2m
2
c
2
δ(r).
Данная поправка определяет дополнительную энергию взаимодействия элек-
трона с ядром в s-состояниях.
ˆ
V
r
= −
[E
0
− V ]
2
2mc
2
— поправка к нерелятивистскому оператору кинетической энергии, обуслов-
ленная релятивистским соотношением (3.4) между энергией и импульсом.
ˆ
V
so
=
}
ˆ
σ
4m
2
c
2
[(grad V ) ×
ˆ
p] (3.73)
— оператор спин-орбитального взаимодействия. В центрально-
симметричном поле V (r) = V (r) выражение (3.73) переходит в (1.70).
Таким образом, последовательная релятивистская теория позволяет
получить константу A = (2m
2
c
2
)
−1
в (1.69).
75
   Преобразование функций (3.69) должно сопровождаться соответствую-
щим преобразованием гамильтониана H 0 в уравнении (3.66), чтобы это урав-
нение приобрело вид ĤΦ = E 0 Φ:
                        (3.71)
 Ĥ 0 → Ĥ = ĝ Ĥ 0 ĝ −1 =
                                                                                (3.72)
    p̂2           [E 0 − V (r)]2    }σ̂                       }2
  =     + V (r) −                +        [(grad V ) × p̂] −        ∇2 V (r).
    2m                 2mc2        4m2 c2                    8m2 c2
   Первые два слагаемых в (3.72) соответствуют нерелятивистскому гамиль-
тониану. Остальные слагаемые учитывают все релятивистские поправки по-
рядка v 2 /c2 . В этом легко убедиться, если учесть, что

                                  }V                 }2 V
                  } grad V ∼         ∼ pV и }2 ∇2 V ∼ 2 ∼ p2 V,
                                   a                  a
где a — характерный размер системы.
    Итак, релятивистскую поправку к гамильтониану нерелятивистской ча-
стицы со спином 12 в потенциальном поле V (r) можно представить в виде:

                                    Ŵ = V̂D + V̂r + V̂so .

Здесь
                                     }2
                                          ∇2 V
                                     V̂D = −
                                   8m2 c2
— так называемая поправка Дарвина (или оператор контактного взаимодей-
ствия). В кулоновском поле V (r) = −Ze2 /r:

                                               π}2 e2 Z
                                    V̂D = −             δ(r).
                                               2m2 c2
Данная поправка определяет дополнительную энергию взаимодействия элек-
трона с ядром в s-состояниях.

                                                [E 0 − V ]2
                                      V̂r = −
                                                  2mc2
— поправка к нерелятивистскому оператору кинетической энергии, обуслов-
ленная релятивистским соотношением (3.4) между энергией и импульсом.

                                           }σ̂
                                 V̂so =          [(grad V ) × p̂]               (3.73)
                                          4m2 c2
—   оператор спин-орбитального взаимодействия.      В   центрально-
симметричном поле V (r) = V (r) выражение (3.73) переходит в (1.70).
Таким образом, последовательная релятивистская теория позволяет
получить константу A = (2m2 c2 )−1 в (1.69).




                                                75

Страницы