Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

108
называются регулярные в точках x = ±1 решения дифференциального
уравнения
(1 − x
2
)y
00
− 2xy
0
+
l(l + 1) −
m
2
1 − x
2
y = 0,
l = 0, 1, . . . ; m = 0, ±1, . . . , ±l
на отрезке вещественной оси x = [−1, +1]. При m = 0 они совпадают с
обычными полиномами Лежандра.
Формула Родрига:
P
|m|
l
(x) =
1
2
l
l!
(1 − x
2
)
|m|/2
d
l+|m|
dx
l+|m|
(x
2
− 1)
l
.
Е. Присоединенные полиномы Лагерра
Присоединенные полиномы Лагерра L
(α)
n
(x) являются регулярными
решениями следующего дифференциального уравнения в области 0 ≤
x < ∞:
xy
00
+ (α + 1 − x)y
0
+ ny = 0, n = 0, 1, . . .
При α = 0 они переходят в обычные полиномы Лагерра.
Дадим некоторые явные выражения для присоединенных полино-
мов Лагерра:
1) формула Родрига:
L
(α)
n
(x) =
1
n!
x
−α
e
x
d
n
dx
n
[x
n+α
e
−x
];
2) через вырожденную гипергеометрическую функцию:
L
(α)
n
(x) =
1
n!
Γ(n + α + 1)
Γ(α + 1)
1
F
1
(−n, α + 1, x).
                                          108


называются регулярные в точках x = ±1 решения дифференциального
уравнения
                                               
                  2 00     0               m2
            (1 − x )y − 2xy + l(l + 1) −          y = 0,
                                         1 − x2
                      l = 0, 1, . . . ;   m = 0, ±1, . . . , ±l

на отрезке вещественной оси x = [−1, +1]. При m = 0 они совпадают с
обычными полиномами Лежандра.
   Формула Родрига:
                                                   l+|m|
               |m|            1          2 |m|/2 d
              Pl     (x) =    l
                                  (1 − x  )         l+|m|
                                                          (x2 − 1)l .
                             2 l!                dx

Е.     Присоединенные полиномы Лагерра
                                                   (α)
   Присоединенные полиномы Лагерра Ln (x) являются регулярными
решениями следующего дифференциального уравнения в области 0 ≤
x < ∞:
            xy 00 + (α + 1 − x)y 0 + ny = 0, n = 0, 1, . . .
При α = 0 они переходят в обычные полиномы Лагерра.
   Дадим некоторые явные выражения для присоединенных полино-
мов Лагерра:
   1) формула Родрига:

                                   1 −α x dn n+α −x
                     L(α)
                      n (x) =         x e     [x e ];
                                   n!     dxn
     2) через вырожденную гипергеометрическую функцию:

                             1 Γ(n + α + 1)
              L(α)
               n (x) =                      1 F1 (−n, α + 1, x).
                             n! Γ(α + 1)

Страницы