Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

107
Г. Функции Бесселя
Функциями Бесселя ν-го порядка называются регулярные в нуле
решения дифференциального уравнения:
x
2
y
00
+ xy
0
+ (x
2
− ν
2
)y = 0. (Г.11)
Дадим некоторые явные выражения для функций Бесселя:
1) разложение в ряд:
J
ν
(x) =
x
2
ν
∞
X
k=0
(−x
2
/2)
k
k!Γ(ν + k + 1)
;
2) через вырожденную гипергеометрическую функцию:
J
ν
(x) =
e
−iz
Γ(1 + ν)
z
2
ν
1
F
1
ν +
1
2
, 2ν + 1, 2iz
.
Сферическая функция Бесселя
j
l
(x) =
r
π
2z
J
l+
1
2
(x), l = 0, 1, . . . (Г.12)
выражается через элементарные, например,
j
0
(x) =
sin x
x
; j
1
(x) =
sin x
x
2
−
cos x
x
; j
2
(x) =
3
x
3
−
1
x
sin x−
3
x
2
cos x.
Функция Эйри Ai(x) является регулярным решением уравнения
y
00
− xy = 0 (Г.13)
и выражается через функции Бесселя порядков ±
1
3
:
Ai(x) =
1
3
√
x [I
−1/3
(ζ) − I
1/3
(ζ)]; Ai(−x) =
1
3
√
x [J
−1/3
(ζ) + J
1/3
(ζ)],
где I
ν
(ζ) = i
−ν
J
ν
(iζ); ζ =
2
3
x
3/2
.
Д. Присоединенные полиномы Лежандра
Присоединенными полиномами Лежандра P
|m|
l
(x), которые явля-
ются основными элементами сферических функций (см. раздел (2.4)),
                                              107


Г.      Функции Бесселя
   Функциями Бесселя ν-го порядка называются регулярные в нуле
решения дифференциального уравнения:

                           x2 y 00 + xy 0 + (x2 − ν 2 )y = 0.                          (Г.11)

      Дадим некоторые явные выражения для функций Бесселя:
      1) разложение в ряд:
                                    x ν X
                                          ∞
                                                       (−x2 /2)k
                        Jν (x) =                                    ;
                                    2                k!Γ(ν + k + 1)
                                             k=0

      2) через вырожденную гипергеометрическую функцию:
                                                           
                          e−iz  z ν         1
               Jν (x) =               1 F1 ν + , 2ν + 1, 2iz .
                        Γ(1 + ν) 2            2

      Сферическая функция Бесселя
                            r
                              π
                   jl (x) =     J 1 (x),                  l = 0, 1, . . .              (Г.12)
                              2z l+ 2
выражается через элементарные, например,
                                                                           
         sin x             sin x cos x                               3    1          3
j0 (x) =       ;   j1 (x) = 2 −        ;              j2 (x) =          −     sin x−    cos x.
           x                x      x                                 x3   x          x2

      Функция Эйри Ai(x) является регулярным решением уравнения

                                     y 00 − xy = 0                                     (Г.13)

и выражается через функции Бесселя порядков ± 13 :

           1√                                                    1√
Ai(x) =      x [I−1/3 (ζ) − I1/3 (ζ)];          Ai(−x) =           x [J−1/3 (ζ) + J1/3 (ζ)],
           3                                                     3
                                        2
где     Iν (ζ) = i−ν Jν (iζ);   ζ=      3   x3/2 .

Д.      Присоединенные полиномы Лежандра
                                                                      |m|
   Присоединенными полиномами Лежандра Pl (x), которые явля-
ются основными элементами сферических функций (см. раздел (2.4)),

Страницы