Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

105
где x
i
— i-й нуль функции g(x). В частности,
δ(αx) =
δ(x)
|α|
. (А.4)
4. Аналитические представления δ-функции. Известны многочис-
ленные аналитические представления δ-функции. Напомним наиболее
распространенные интегральное
δ(x) =
1
2π
Z
+∞
−∞
e
ixq
dq (А.5)
и три предельных представления:
δ(x) = lim
a→0
1
√
πa
exp
−
x
2
a
2
;
δ(x) = lim
a→0
1
π
a
x
2
+ a
2
;
δ(x) = lim
a→∞
1
π
sin ax
x
.
Интеграл Фурье (А.5) допускает 3-мерное обобщение:
δ(r)
(А.3)
=
1
(2π)
3
Z
e
irq
d
3
q. (А.6)
Б. Вырожденная гипергеометрическая функция
Рассмотрим так называемое вырожденное гипергеометрическое
уравнение:
x
d
2
y
dx
2
+ (b − x)
dy
dx
− ay = 0, (Б.7)
где a и b — заданные комплексные параметры. Его регулярное в ну-
ле решение называется вырожденной гипергеометрической функцией
1
F
1
(a, b, x) и имеет следующее представление в виде степенного ряда:
y
reg
(x) =
1
F
1
(a, b, x) = 1 +
a
b
x
1!
+
a(a + 1)
b(b + 1)
x
2
2!
+ . . . (Б.8)
При целых неположительных a ряд превращается в полином степени
−a.
                                    105


где xi — i-й нуль функции g(x). В частности,

                                          δ(x)
                              δ(αx) =          .                     (А.4)
                                           |α|

   4. Аналитические представления δ-функции. Известны многочис-
ленные аналитические представления δ-функции. Напомним наиболее
распространенные интегральное
                                     Z   +∞
                                 1
                         δ(x) =               eixq dq                (А.5)
                                2π    −∞


и три предельных представления:
                                             2
                                   1           x
                      δ(x) = lim √     exp − 2 ;
                             a→0   πa          a
                                 1    a
                      δ(x) = lim             ;
                             a→0 π x2 + a2
                                  1 sin ax
                      δ(x) = lim           .
                             a→∞ π     x
Интеграл Фурье (А.5) допускает 3-мерное обобщение:
                                          Z
                                1
                            (А.3)
                       δ(r) =                 eirq d3 q.             (А.6)
                              (2π)3


Б.   Вырожденная гипергеометрическая функция
    Рассмотрим так называемое вырожденное гипергеометрическое
уравнение:
                           d2 y        dy
                         x 2 + (b − x)    − ay = 0,               (Б.7)
                           dx          dx
где a и b — заданные комплексные параметры. Его регулярное в ну-
ле решение называется вырожденной гипергеометрической функцией
1 F1 (a, b, x) и имеет следующее представление в виде степенного ряда:

                                          a x    a(a + 1) x2
          yreg (x) = 1 F1 (a, b, x) = 1 +      +             + ...   (Б.8)
                                          b 1!   b(b + 1) 2!
При целых неположительных a ряд превращается в полином степени
−a.

Страницы