Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

103
Подставляя (3.45) во временн´ое уравнение Шредингера для Ψ
S
(ξ, t)
с гамильтонианом
ˆ
H(t) =
ˆ
H
0
+
ˆ
V (t) и учитывая, что оператор
ˆ
H
0
ком-
мутирует с оператором exp
n
(i/})
ˆ
H
0
t
o
, получаем следующее уравнение
Шредингера для Ψ
int
(ξ, t):
i}
∂
∂t
Ψ
int
(ξ, t) =
ˆ
V
int
(t)Ψ
int
(ξ, t), (3.47)
где
ˆ
V
int
(t) = exp
i
}
ˆ
H
0
t
ˆ
V (t) exp
−
i
}
ˆ
H
0
t
. (3.48)
Как и следовало ожидать, это выражение для
ˆ
V
int
(t) является част-
ным случаем общей формулы (3.46) для операторов в представлении
взаимодействия.
Уравнение движения для оператора в представлении взаимодей-
ствия получается дифференцированием выражения (3.46):
∂
∂t
ˆ
F
int
=
1
i}
[
ˆ
F
int
,
ˆ
H
0
]. (3.49)
Преобразованиями, аналогичными описанным выше, можно уста-
новить и связь между представлениями взаимодействия и Гейзенберга
для функций и операторов. Все эти представления физически эквива-
лентны и каждое из них может быть использовано в качестве основы
для построения формализма квантовой теории, хотя математическая
техника для решения конкретных задач в каждом случае будет су-
щественно различной. Как видно, представление взаимодействия яв-
ляется как бы промежуточным между шредингеровским и гейзенбер-
говским представлениями: в нем зависимость операторов от времени
такая же, как в представлении Гейзенберга с «полным» гамильтони-
аном
ˆ
H
0
(который на самом деле является лишь первым слагаемым
в гамильтониане
ˆ
H(t)), а зависимость волновой функции Ψ
int
(ξ, t) от
времени определяется как в представлении Шредингера с «полным» га-
мильтонианом
ˆ
V
int
(t) (который определяется лишь вторым слагаемым
в истинном гамильтониане
ˆ
H(t) рассматриваемой квантовой системы).
Удобство представления взаимодействия как раз и состоит в том, что
иногда удается подходящим разделением полного гамильтониана
ˆ
H на
две части уравнение для операторов в представлении взаимодействия
решить точно (выбирая выражение для
ˆ
H
0
в достаточно простом, «ре-
шаемом» виде), а для решения уравнения (3.47) для волновой функции
развить эффективные приближенные методы.
                                        103


    Подставляя (3.45) во временно́е уравнение Шредингера для ΨS (ξ, t)
с гамильтонианом Ĥ(t) = Ĥn0 + V̂ (t) иo учитывая, что оператор Ĥ0 ком-
мутирует с оператором exp (i/}) Ĥ0 t , получаем следующее уравнение
Шредингера для Ψint (ξ, t):

                         ∂
                    i}      Ψint (ξ, t) = V̂int (t)Ψint (ξ, t),    (3.47)
                         ∂t
где                                                    
                                i                   i
               V̂int (t) = exp    Ĥ0 t V̂ (t) exp − Ĥ0 t .       (3.48)
                                }                   }
Как и следовало ожидать, это выражение для V̂int (t) является част-
ным случаем общей формулы (3.46) для операторов в представлении
взаимодействия.
   Уравнение движения для оператора в представлении взаимодей-
ствия получается дифференцированием выражения (3.46):
                           ∂          1
                             F̂int =    [F̂int , Ĥ0 ].       (3.49)
                          ∂t         i}
   Преобразованиями, аналогичными описанным выше, можно уста-
новить и связь между представлениями взаимодействия и Гейзенберга
для функций и операторов. Все эти представления физически эквива-
лентны и каждое из них может быть использовано в качестве основы
для построения формализма квантовой теории, хотя математическая
техника для решения конкретных задач в каждом случае будет су-
щественно различной. Как видно, представление взаимодействия яв-
ляется как бы промежуточным между шредингеровским и гейзенбер-
говским представлениями: в нем зависимость операторов от времени
такая же, как в представлении Гейзенберга с «полным» гамильтони-
аном Ĥ0 (который на самом деле является лишь первым слагаемым
в гамильтониане Ĥ(t)), а зависимость волновой функции Ψint (ξ, t) от
времени определяется как в представлении Шредингера с «полным» га-
мильтонианом V̂int (t) (который определяется лишь вторым слагаемым
в истинном гамильтониане Ĥ(t) рассматриваемой квантовой системы).
Удобство представления взаимодействия как раз и состоит в том, что
иногда удается подходящим разделением полного гамильтониана Ĥ на
две части уравнение для операторов в представлении взаимодействия
решить точно (выбирая выражение для Ĥ0 в достаточно простом, «ре-
шаемом» виде), а для решения уравнения (3.47) для волновой функции
развить эффективные приближенные методы.

Страницы