Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

101
(3.38) с учетом (3.35), унитарности оператора
ˆ
U
ev
(t) и нашего опреде-
ления Ψ
H
:
hF i = hΨ
H
|
ˆ
U
−1
ev
(t)
ˆ
F
S
ˆ
U
ev
(t)|Ψ
H
i = hΨ
H
|
ˆ
F
H
(t)|Ψ
H
i, (3.39)
где мы ввели зависящий от времени оператор
ˆ
F
H
(t) =
ˆ
U
−1
ev
(t)
ˆ
F
S
ˆ
U
ev
(t) = exp
i
}
ˆ
Ht
ˆ
F
S
exp
−
i
}
ˆ
Ht
. (3.40)
Соотношение (3.39) показывает, что, действительно, мы можем полу-
чить ту же самую информацию о физической величине F в момент
времени t (т.е. ее среднее значение), считая, что волновая функция не
изменяется со временем, а оператор этой величины меняется со време-
нем согласно (3.40).
Выражение (3.40) дает закон преобразования операторов физиче-
ских величин при переходе от представления Шредингера к представ-
лению Гейзенберга в момент времени t, а закон преобразования волно-
вых функций при таком переходе следует из (3.35):
Ψ
H
(ξ) =
ˆ
U
−1
ev
(t)Ψ
S
(ξ, t)
(3.37)
= exp
i
}
ˆ
Ht
Ψ
S
(ξ, t). (3.41)
Итак, как уже говорилось, в представлении Гейзенберга изменение
квантовых характеристик микросистемы с течением времени обуслов-
лено зависимостью от времени операторов физических величин (в со-
ответствии с (3.40)). При этом возникает вопрос, как же установить эту
зависимость, если оператор эволюции неизвестен в явном виде? Опера-
торное дифференциальное уравнение для оператора
ˆ
F
H
(t) получается
дифференцированием (3.40) (в котором операторы
ˆ
F
S
и
ˆ
H не зависят
от t, поэтому все производные являются частными) по времени и имеет
вид (проверить самостоятельно!):
∂
∂t
ˆ
F
H
(t) =
1
i}
[
ˆ
F
H
(t),
ˆ
H]. (3.42)
В представлении Гейзенберга это уравнение заменяет временное урав-
нение Шредингера для волновой функции в представлении Шрединге-
ра.
Представление Гейзенберга редко используется в квантовой меха-
нике, однако оно очень удобно в квантовой теории поля.
                                      101


(3.38) с учетом (3.35), унитарности оператора Ûev (t) и нашего опреде-
ления ΨH :
                      −1
        hF i = hΨH |Ûev (t)F̂S Ûev (t)|ΨH i = hΨH |F̂H (t)|ΨH i,   (3.39)

где мы ввели зависящий от времени оператор
                                                           
                 −1                        i              i
     F̂H (t) = Ûev (t)F̂S Ûev (t) = exp    Ĥt F̂S exp − Ĥt .     (3.40)
                                           }              }

Соотношение (3.39) показывает, что, действительно, мы можем полу-
чить ту же самую информацию о физической величине F в момент
времени t (т.е. ее среднее значение), считая, что волновая функция не
изменяется со временем, а оператор этой величины меняется со време-
нем согласно (3.40).
   Выражение (3.40) дает закон преобразования операторов физиче-
ских величин при переходе от представления Шредингера к представ-
лению Гейзенберга в момент времени t, а закон преобразования волно-
вых функций при таком переходе следует из (3.35):
                                                  
                       −1            (3.37)   i
           ΨH (ξ) = Ûev (t)ΨS (ξ, t) = exp     Ĥt ΨS (ξ, t).  (3.41)
                                              }

    Итак, как уже говорилось, в представлении Гейзенберга изменение
квантовых характеристик микросистемы с течением времени обуслов-
лено зависимостью от времени операторов физических величин (в со-
ответствии с (3.40)). При этом возникает вопрос, как же установить эту
зависимость, если оператор эволюции неизвестен в явном виде? Опера-
торное дифференциальное уравнение для оператора F̂H (t) получается
дифференцированием (3.40) (в котором операторы F̂S и Ĥ не зависят
от t, поэтому все производные являются частными) по времени и имеет
вид (проверить самостоятельно!):

                          ∂             1
                             F̂H (t) =    [F̂H (t), Ĥ].             (3.42)
                          ∂t           i}
В представлении Гейзенберга это уравнение заменяет временное урав-
нение Шредингера для волновой функции в представлении Шрединге-
ра.
    Представление Гейзенберга редко используется в квантовой меха-
нике, однако оно очень удобно в квантовой теории поля.

Страницы