Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

100
Чтобы лучше понять суть представления Шредингера, введем опе-
ратор
ˆ
U
ev
(t) эволюции квантовой системы во времени соотношением
Ψ
S
(ξ, t) =
ˆ
U
ev
(t)Ψ
S
(ξ, 0);
ˆ
U
ev
(0) =
ˆ
1, (3.35)
где Ψ
S
(ξ, 0) — волновая функция системы в начальный момент времени
t
0
= 0. Для определения явного вида
ˆ
U
ev
(t) подставим волновую функ-
цию в форме (3.35) во временн´ое уравнение Шредингера с гамильтони-
аном
ˆ
H. В результате получим «уравнение движения» для оператора
эволюции:
i}
∂
ˆ
U
ev
(t)
∂t
=
ˆ
H
ˆ
U
ev
(t);
ˆ
U
ev
(0) =
ˆ
1. (3.36)
Его формальное решение для случая независящего от времени гамиль-
тониана имеет вид:
ˆ
U
ev
(t) = exp
−
i
}
ˆ
Ht
. (3.37)
Унитарность
ˆ
U
ev
(t) очевидна.
Итак, если в момент времени t = 0 система находилась в состоянии
Ψ
S
(ξ, 0), а физической величине F соответствовал оператор
ˆ
F (будем
обозначать его как
ˆ
F
S
), то в момент t оператор сохраняет тот же са-
мый вид, а волновая функция получается из Ψ
S
(ξ, 0) путем унитарного
преобразования (3.35). Соответственно среднее значение F тоже меня-
ется с течением времени и это изменение обусловлено исключительно
зависимостью от времени волновой функции:
hF i = hΨ
S
(ξ, t)|
ˆ
F
S
|Ψ
S
(ξ, t)i. (3.38)
Представление Гейзенберга
Альтернативный представлению Шредингера метод описания вре-
менной эволюции квантовой системы, т.е. когда от времени зависят
только операторы, но не волновые функции, называется представлени-
ем Гейзенберга. Волновым функциям и операторам в этом представле-
нии будет приписываться индекс «H». Суть представления Гейзенберга
проще всего понять, если попытаться ответить на вопрос — а нельзя ли
получить то же самое среднее значение F в момент времени t, что и
даваемое выражением (3.38), считая, что волновая функция остается
той же, что и в момент t = 0 (обозначим ее через Ψ
H
: Ψ
H
≡ Ψ
S
(ξ, 0))?
Ответ на этот вопрос легко получить, если переписать правую часть в
                                     100


   Чтобы лучше понять суть представления Шредингера, введем опе-
ратор Ûev (t) эволюции квантовой системы во времени соотношением

               ΨS (ξ, t) = Ûev (t)ΨS (ξ, 0);     Ûev (0) = 1̂,   (3.35)

где ΨS (ξ, 0) — волновая функция системы в начальный момент времени
t0 = 0. Для определения явного вида Ûev (t) подставим волновую функ-
цию в форме (3.35) во временно́е уравнение Шредингера с гамильтони-
аном Ĥ. В результате получим «уравнение движения» для оператора
эволюции:
                      ∂ Ûev (t)
                   i}            = Ĥ Ûev (t);   Ûev (0) = 1̂. (3.36)
                          ∂t
Его формальное решение для случая независящего от времени гамиль-
тониана имеет вид:                                 
                                                i
                            Ûev (t) = exp − Ĥt .               (3.37)
                                                }
Унитарность Ûev (t) очевидна.
   Итак, если в момент времени t = 0 система находилась в состоянии
ΨS (ξ, 0), а физической величине F соответствовал оператор F̂ (будем
обозначать его как F̂S ), то в момент t оператор сохраняет тот же са-
мый вид, а волновая функция получается из ΨS (ξ, 0) путем унитарного
преобразования (3.35). Соответственно среднее значение F тоже меня-
ется с течением времени и это изменение обусловлено исключительно
зависимостью от времени волновой функции:

                      hF i = hΨS (ξ, t)|F̂S |ΨS (ξ, t)i.           (3.38)

Представление Гейзенберга
   Альтернативный представлению Шредингера метод описания вре-
менной эволюции квантовой системы, т.е. когда от времени зависят
только операторы, но не волновые функции, называется представлени-
ем Гейзенберга. Волновым функциям и операторам в этом представле-
нии будет приписываться индекс «H». Суть представления Гейзенберга
проще всего понять, если попытаться ответить на вопрос — а нельзя ли
получить то же самое среднее значение F в момент времени t, что и
даваемое выражением (3.38), считая, что волновая функция остается
той же, что и в момент t = 0 (обозначим ее через ΨH : ΨH ≡ ΨS (ξ, 0))?
Ответ на этот вопрос легко получить, если переписать правую часть в

Страницы