Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 102 стр.

                                 102


Представление взаимодействия
   Это представление удобно, когда на квантовую систему с гамильто-
нианом Ĥ0 действует внешнее (в общем случае, переменное во времени)
поле. В этом случае полный гамильтониан задачи можно представить
в виде суммы
                         Ĥ(t) = Ĥ0 + V̂ (t),
где V̂ (t) — оператор взаимодействия системы с полем (часто называе-
мый оператором возмущения). Теперь уже гамильтониан Ĥ(t) зависит
от времени и поэтому оператор эволюции не может быть представлен
в таком простом виде, как в (3.37). Однако и в этом случае можно от
волновой функции ΨS (ξ, t) в шредингеровском представлении перей-
ти к другому способу описания зависимости квантовых состояний от
времени (называемому представлением взаимодействия). Для этого
можно использовать оператор эволюции с гамильтонианом Ĥ0 , кото-
рый имеет тот же вид, что и (3.37) с заменой Ĥ → Ĥ0 . Таким образом,
волновая функция в представлении взаимодействия Ψint (ξ, t) получа-
ется из волновой функции в представлении Шредингера с помощью
унитарного преобразования
                                              
                                        i
                    Ψint (ξ, t) = exp     Ĥ0 t ΨS (ξ, t).       (3.43)
                                        }

   Для установления связи оператора F̂S с соответствующим операто-
ром величины F в представлении взаимодействия (обозначим искомый
оператор как F̂int (t)), определяемом преобразованием (3.43) для функ-
ций, потребуем, как и в случае перехода в гейзенберговское представ-
ление, чтобы среднее значение величины F в представлении взаимо-
действия
                        hF i = hΨint (t)|F̂int (t)|Ψint (t)i,    (3.44)
совпадало с таковым в представлении Шредингера (оно определено в
(3.38)). Выражая из (3.43) функцию ΨS (ξ, t) через Ψint (ξ, t)
                                        
                                   i
                  ΨS (ξ, t) = exp − Ĥ0 t Ψint (ξ, t),         (3.45)
                                   }
подставляя это выражение в (3.38) и сравнивая с (3.44), получаем пра-
вило перехода от представления Шредингера к представлению взаимо-
действия для операторов:
                                                     
                                 i                i
               F̂int (t) = exp     Ĥ0 t F̂S exp − Ĥ0 t .      (3.46)
                                 }                }