Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

104
Приложение
А. Дельта-функция Дирака
Дельта-функция Дирака определяется как ядро «фильтрующего»
интегрального оператора, который сопоставляет произвольной регу-
лярной функции ее значение в нуле:
Z
+∞
−∞
δ(x)f(x) dx
def
= f(0). (А.1)
Определение (А.1) обобщается на 3-мерный случай:
Z
δ(r)f(r) dr
def
= f(0). (А.2)
В декартовых координатах δ-функция векторного аргумента связана с
1-мерной δ-функцией простым соотношением:
δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z). (А.3)
Напомним основные свойства δ-функции.
1. Четность: δ(−x) = δ(x).
2. n-я производная δ-функции является ядром интегрального опе-
ратора, действующего согласно правилу:
Z
+∞
−∞
δ
(n)
(x)f(x) dx = (−1)
n
d
n
f(x)
dx
n
x=0
.
3. Дифференцируемая функция g(x) в аргументе δ-функции:
δ[g(x)] =
X
i
δ(x − x
i
)
dg(x)
dx
x=x
i
,
                                        104




Приложение


А.     Дельта-функция Дирака
   Дельта-функция Дирака определяется как ядро «фильтрующего»
интегрального оператора, который сопоставляет произвольной регу-
лярной функции ее значение в нуле:
                      Z   +∞
                                                 def
                                δ(x)f (x) dx = f (0).              (А.1)
                        −∞


Определение (А.1) обобщается на 3-мерный случай:
                          Z
                                               def
                               δ(r)f (r) dr = f (0).               (А.2)


В декартовых координатах δ-функция векторного аргумента связана с
1-мерной δ-функцией простым соотношением:

                              δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z).                 (А.3)

   Напомним основные свойства δ-функции.
   1. Четность: δ(−x) = δ(x).
   2. n-я производная δ-функции является ядром интегрального опе-
ратора, действующего согласно правилу:
              Z +∞                          n
                     (n)                 n d f (x)
                    δ (x)f (x) dx = (−1)            .
                −∞                          dxn x=0

     3. Дифференцируемая функция g(x) в аргументе δ-функции:
                                  X           δ(x − xi )
                     δ[g(x)] =                                 ,
                                                dg(x)
                                    i            dx
                                                        x=xi

Страницы