Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

106
При |x| → ∞ она имеет следующее асимптотическое представление:
1
F
1
(a, b, x) ∼
Γ(b)
Γ(b − a)
(−x)
−a
2
F
0
(a, a − b + 1, −x
−1
)+
+
Γ(b)
Γ(a)
e
−x
x
a−b
2
F
0
(b − a, 1 − a, x
−1
).
Здесь
2
F
0
(a, b, x) = 1 + ab
x
1!
+ a(a + 1)b(b + 1)
x
2
2!
+ . . .
Введено стандартное обозначение для Γ-функции.
В. Полиномы Чебышева–Эрмита
Полиномы Чебышева–Эрмита являются регулярными в нуле реше-
ниями дифференциального уравнения
y
00
− 2xy
0
+ 2ny = 0, n = 0, 1, . . . ,
где n — их порядок.
Дадим здесь несколько различных их представлений:
1) формула Родрига:
H
n
(x) = (−1)
n
e
x
2
d
n
dx
n
e
−x
2
; (В.9)
2) разложение по убывающим степеням x:
H
n
(x) = (2x)
n
−
n(n − 1)
1
(2x)
n−2
+
n(n − 1)(n − 2)(n − 3)
1 · 2
(2x)
n−4
− . . .
3) через вырожденную гипергеометрическую функцию:
H
2m
(x) = (−1)
m
(2m)!
m!
1
F
1
−m,
1
2
, x
2
;
H
2m+1
(x) = (−1)
m
(2m + 1)!
m!
2x
1
F
1
−m,
3
2
, x
2
.
4) рекуррентная формула:
H
n+1
(x) = 2xH
n
(x) − 2nH
n−1
(x); H
0
(x) = 1; H
1
(x) = 2x. (В.10)
                                           106


     При |x| → ∞ она имеет следующее асимптотическое представление:

                         Γ(b)
  1 F1 (a, b, x)   ∼            (−x)−a 2 F0 (a, a − b + 1, −x−1 )+
                       Γ(b − a)
                                             Γ(b) −x a−b
                                         +         e x 2 F0 (b − a, 1 − a, x−1 ).
                                             Γ(a)

Здесь
                                   x                     x2
           2 F0 (a, b, x) = 1 + ab    + a(a + 1)b(b + 1)    + ...
                                   1!                    2!
Введено стандартное обозначение для Γ-функции.

В.      Полиномы Чебышева–Эрмита
   Полиномы Чебышева–Эрмита являются регулярными в нуле реше-
ниями дифференциального уравнения

                        y 00 − 2xy 0 + 2ny = 0,      n = 0, 1, . . . ,

где n — их порядок.
   Дадим здесь несколько различных их представлений:
   1) формула Родрига:

                                            n x2    dn −x2
                             Hn (x) = (−1) e           e   ;                      (В.9)
                                                   dxn
     2) разложение по убывающим степеням x:

                        n(n − 1)           n(n − 1)(n − 2)(n − 3)
Hn (x) = (2x)n −                 (2x)n−2 +                        (2x)n−4 − . . .
                           1                        1·2
     3) через вырожденную гипергеометрическую функцию:
                                                   
                             (2m)!            1
             H2m (x) = (−1)m       1 F1 −m, , x
                                                  2
                                                      ;
                               m!             2
                                                         
                               (2m   + 1)!              3
             H2m+1 (x) = (−1)m             2x1 F1 −m, , x2 .
                                   m!                   2

     4) рекуррентная формула:

  Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x);               H0 (x) = 1;     H1 (x) = 2x.   (В.10)

Страницы