Квантовая теория. Ч. 3. Копытин И.В - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, на l-й итерации (l > 0) волновые функции определя-
ются из уравнения:
[
ˆ
h(r
i
) + V
(l−1)
(r
i
)]ϕ
(l)
α
i
(r
i
) = ε
(l)
i
ϕ
(l)
α
i
(r
i
), i = 1, . . . , N, (2.54)
где
V
(l−1)
(r
i
) = e
2
N
X
j6=i
Z
|ϕ
(l−1)
α
j
(r
j
)|
2
|r
i
− r
j
|
d
3
r
j
. (2.55)
Итерационный процесс (2.54), как правило, сходится. Для улучшения
сходимости можно модифицировать нулевое приближение, так или ина-
че изменяя
ˆ
h(r) в уравнении (2.51). Каждый раз после выполнения
очередного шага (2.54) функцию ϕ
(l)
α
k
(r) необходимо нормировать на
единицу. Итерационный процесс прекращается при выполнении усло-
вия
max |ε
(l)
i
− ε
(l−1)
i
| < ∆
либо
max
Z
|ϕ
(l)
α
i
− ϕ
(l−1)
α
i
|
2
d
3
r < ∆,
где ∆ — малая заданная величина, т. е. вычисления заканчиваются,
если решения, полученные на двух последовательных шагах, практи-
чески совпадают.
Уравнение (2.54) удобно представить в следующем виде:
−
}
2
2m
∇
2
i
−
Ze
2
r
i
+ V (r
i
)
ϕ
α
i
(r
i
) = ε
i
ϕ
α
i
(r
i
), (2.56)
где
V (r
i
) = e
2
N
X
j6=i
Z
|ϕ
α
j
(r
j
)|
2
|r
i
− r
j
|
d
3
r
j
— потенциал, создаваемый распределением остальных электронов при
учете их взаимного влияния друг на друга и взаимодействием с i-м
электроном. Такое поле принято называть сомосогласованным. Проце-
дура (2.54) носит название метода самосогласованного поля, или ме-
тода Хартри.
Энергия атома получается в методе Хартри подстановкой найден-
ных одночастичных функции {ϕ
α
k
} в функционал (2.47):
E =
N
X
i=1
ε
i
−
1
2
N
X
i6=j
ZZ
r
−1
ij
|ϕ
α
i
(r
i
)|
2
|ϕ
α
j
(r
j
)|
2
d
3
r
i
d
3
r
j
(2.57)
46
Таким образом, на l-й итерации (l > 0) волновые функции определя-
ются из уравнения:
                                                     (l)
       [ĥ(r i ) + V (l−1) (r i )]ϕ(l)             (l)
                                   αi (r i ) = εi ϕαi (r i ),     i = 1, . . . , N,   (2.54)

где
                                            N Z   (l−1)
                         (l−1)            2
                                            X   |ϕαj (r j )|2 3
                     V           (r i ) = e                    d rj .                 (2.55)
                                                  |r i − r j |
                                              j6=i

Итерационный процесс (2.54), как правило, сходится. Для улучшения
сходимости можно модифицировать нулевое приближение, так или ина-
че изменяя ĥ(r) в уравнении (2.51). Каждый раз после выполнения
                                  (l)
очередного шага (2.54) функцию ϕαk (r) необходимо нормировать на
единицу. Итерационный процесс прекращается при выполнении усло-
вия
                             (l)   (l−1)
                       max |εi − εi      |<∆
либо                               Z
                           max          |ϕ(l)    (l−1) 2 3
                                          αi − ϕ αi   | d r < ∆,

где ∆ — малая заданная величина, т. е. вычисления заканчиваются,
если решения, полученные на двух последовательных шагах, практи-
чески совпадают.
   Уравнение (2.54) удобно представить в следующем виде:
                                     
                }2 2 Ze2
              −   ∇ −       + V (r i ) ϕαi (r i ) = εi ϕαi (r i ), (2.56)
                2m i     ri
где
                                          N Z
                                        2
                                          X   |ϕαj (r j )|2 3
                           V (r i ) = e                     d rj
                                               |r i − r j |
                                           j6=i

— потенциал, создаваемый распределением остальных электронов при
учете их взаимного влияния друг на друга и взаимодействием с i-м
электроном. Такое поле принято называть сомосогласованным. Проце-
дура (2.54) носит название метода самосогласованного поля, или ме-
тода Хартри.
   Энергия атома получается в методе Хартри подстановкой найден-
ных одночастичных функции {ϕαk } в функционал (2.47):
              N              N     ZZ
              X    1X                    −1
       E=     εi −                      rij |ϕαi (r i )|2 |ϕαj (r j )|2 d3 ri d3 rj   (2.57)
          i=1
                   2
                            i6=j




                                                     46

Страницы