Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

числяется с гамильтонианом
ˆ
H = −
}
2
2µ
d
2
dx
2
+
1
2
µω
2
x
2
(3.3)
и заданной пробной функцией Ψ(x, α). Приведем его окончательный
вид (3.1):
J
0
(α) =
1
4
}
2
α
µ
+
µω
2
α
.
Минимум J
0
(α) соответствует значению α
0
= µω/}, поэтому энергия
основного состояния
E
0
= J
0
(α
0
) =
1
2
}ω,
а соответствующая нормированная волновая функция имеет вид
Ψ
0
(x) = Ψ(x, α
0
) =
µω
π}
1
/
4
e
−
x
2
2x
2
0
, (3.4)
где x
2
0
=
}
µω
. По причине удачно выбранной параметризации пробной
функции значение энергии и вид волновой функции совпадают с точ-
ными выражениями.
Пример 3.2. Вычислить вариационным методом энергию основно-
го состояния атома водорода. Пробную функцию выбрать в виде
Ψ(r, β) = Ae
−βr
с вариационным параметром β > 0.
Решение. Гамильтониан атома водорода имеет вид
ˆ
H = −
}
2
2µ
∇
2
−
Ze
2
r
. (3.5)
В центрально-симметричном поле определенное значение имеет угло-
вой момент. В основном состоянии угловой момент равен нулю. Сле-
довательно, волновая функция может зависеть только от r и не зави-
сит от углов. В связанных состояниях при r → ∞ волновая функция
должна обращаться в нуль. Радиальная волновая функция основно-
го состояния не должна иметь узлов. Предлагаемая пробная функция
удовлетворяет вышеперечисленным условиям.
Энергетический функционал с гамильтонианом (3.5) приводится к
виду
J
1s
(β) =
2β
3
}
2
µ
Z
∞
0
e
−βr
∇
2
e
−βr
r
2
dr − 4β
3
Ze
2
Z
∞
0
e
−2βr
r dr. (3.6)
37
числяется с гамильтонианом
                                �2 d 2    1
                       Ĥ = −           +   µω 2 x2                      (3.3)
                                2µ dx 2   2

и заданной пробной функцией Ψ(x, α). Приведем его окончательный
вид (3.1):                     �         �
                             1 �2 α µω 2
                    J0 (α) =       +       .
                             4   µ    α
Минимум J0 (α) соответствует значению α0 = µω/�, поэтому энергия
основного состояния
                                      1
                       E0 = J0 (α0 ) = �ω,
                                      2
а соответствующая нормированная волновая функция имеет вид
                                         � µω � 1/4       −    x2
                                                              2x2
                  Ψ0 (x) = Ψ(x, α0 ) =                e          0   ,   (3.4)
                                           π�
         �
где x20 =  . По причине удачно выбранной параметризации пробной
        µω
функции значение энергии и вид волновой функции совпадают с точ-
ными выражениями.                                             �

Пример 3.2. Вычислить вариационным методом энергию основно-
го состояния атома водорода. Пробную функцию выбрать в виде
Ψ(r, β) = Ae−βr с вариационным параметром β > 0.
Решение. Гамильтониан атома водорода имеет вид

                               �2 2 Ze2
                         Ĥ = − ∇ −     .                                (3.5)
                               2µ    r
В центрально-симметричном поле определенное значение имеет угло-
вой момент. В основном состоянии угловой момент равен нулю. Сле-
довательно, волновая функция может зависеть только от r и не зави-
сит от углов. В связанных состояниях при r → ∞ волновая функция
должна обращаться в нуль. Радиальная волновая функция основно-
го состояния не должна иметь узлов. Предлагаемая пробная функция
удовлетворяет вышеперечисленным условиям.
   Энергетический функционал с гамильтонианом (3.5) приводится к
виду
                     �                           � ∞
              2β 3 �2 ∞ −βr 2 −βr 2
    J1s (β) =            e ∇ e   r dr − 4β 3 Ze2     e−2βr r dr. (3.6)
                µ      0                          0



                                    37

Страницы