Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

При вычислении первого интеграла в (3.6) имеем
Z
∞
0
e
−βr
∇
2
e
−βr
r
2
dr = −
Z
∞
0
∂
∂r
e
−βr
2
r
2
dr = −(4β)
−1
.
Второй интеграл в (3.6) легко вычисляется:
Z
∞
0
e
−2βr
r dr = (2β)
−2
.
Подставляя эти значения в (3.6), получаем:
J
1s
(β) =
}
2
β
2
2µ
− Ze
2
β.
Из условия минимума J
1s
(β) определяем вариационный параметр β
0
=
Z/a
0
. Подставляя найденное значение β
0
в выражения для энергетиче-
ского функционала и пробной функции, получаем:
E
1s
= J
1s
(β
0
) = −
Z
2
e
2
2a
0
; Ψ
1s
(r) =
s
Z
3
πa
3
0
exp
−
Zr
a
0
. (3.7)
Выражения для энергии и волновой функции совпадают с точными
благодаря удачной параметризации пробной функции.
Пример 3.3. Вычислить вариационным методом энергию пер-
вого возбужденного состояния 2s атома водорода. Пробную
функцию выбрать в двухпараметрическом виде Ψ(r; α, γ) =
B
1 + γ
Zr
a
0
exp
−
αr
a
0
с вариационными параметрами α > 0 и
γ < 0.
Решение. Помимо стандартных условий, радиальная волновая функция
2s-состояния должна иметь один узел. Данный факт находит отраже-
ние в параметризации пробной функции. Дополнительным условием
при минимизации энергетического функционала является требование
ортогональности Ψ(r; α, γ) к волновой функции 1s-состояния, найден-
ной в предыдущем примере:
R
∞
0
Ψ
∗
(r; α, γ)Ψ
1s
(r) d
3
r = 0. Несложные
вычисления позволяют получить следующую связь между вариацион-
ными параметрами α и γ:
γ = −
1
3Z
(Z + α). (3.8)
Теперь на основании (3.5) и (3.8) с заданной пробной функцией мож-
но получить энергетический функционал 2s-состояния:
J
2s
(α) =
Z
Ψ
∗
ˆ
HΨ d
3
r =
Ze
2
a
0
−
α
2
+
7α
2
6Z
−
Zα
2
2(α
2
− Zα + Z
2
)
.
38
При вычислении первого интеграла в (3.6) имеем
     � ∞                        � ∞�        �2
                                     ∂
         e−βr ∇2 e−βr r2 dr = −         e−βr r2 dr = −(4β)−1 .
      0                          0   ∂r
Второй интеграл в (3.6) легко вычисляется:
                       � ∞
                           e−2βr r dr = (2β)−2 .
                          0

Подставляя эти значения в (3.6), получаем:
                                      �2 β 2
                          J1s (β) =          − Ze2 β.
                                       2µ
Из условия минимума J1s (β) определяем вариационный параметр β0 =
Z/a0 . Подставляя найденное значение β0 в выражения для энергетиче-
ского функционала и пробной функции, получаем:
                                          �         �     �
                          2 2
                         Z e                Z3         Zr
     E1s = J1s (β0 ) = −      ; Ψ1s (r) =        exp −      .  (3.7)
                         2a0                πa30       a0
Выражения для энергии и волновой функции совпадают с точными
благодаря удачной параметризации пробной функции.          �

Пример 3.3. Вычислить вариационным методом энергию пер-
вого возбужденного состояния 2s атома водорода. Пробную
функцию
  �             � в � двухпараметрическом виде Ψ(r; α, γ)
          выбрать
           �                                              =
        Zr         αr
B 1+γ        exp −     с вариационными параметрами α > 0 и
        a0         a0
γ < 0.
Решение. Помимо стандартных условий, радиальная волновая функция
2s-состояния должна иметь один узел. Данный факт находит отраже-
ние в параметризации пробной функции. Дополнительным условием
при минимизации энергетического функционала является требование
ортогональности Ψ(r; α, γ) к волновой
                             �∞ ∗     функции 1s-состояния, найден-
ной в предыдущем примере: 0 Ψ (r; α, γ)Ψ1s (r) d3 r = 0. Несложные
вычисления позволяют получить следующую связь между вариацион-
ными параметрами α и γ:
                                   1
                              γ=−    (Z + α).                          (3.8)
                                  3Z
   Теперь на основании (3.5) и (3.8) с заданной пробной функцией мож-
но получить энергетический функционал 2s-состояния:
             �                     �                               �
                             Ze 2
                                      α    7α2
                                                       Zα2
    J2s (α) = Ψ∗ ĤΨ d3 r =         − +        −                     .
                              a0      2    6Z    2(α2 − Zα + Z 2 )

                                      38

Страницы