Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Из условия минимума J
2s
(α) следует α
0
= Z/2. Подставляя найденное
значение α
0
в выражения для энергетического функционала и пробной
функции, имеем:
E
2s
= J
2s
(α
0
) = −
Z
2
e
2
8a
0
; Ψ
1s
(r) =
s
Z
3
8πa
3
0
1 −
Zr
2a
0
exp
−
Zr
2a
0
.
Как и в предыдущем примере, мы получили совпадение с точными
результатами.
Пример 3.4. Вычислить вариационным методом энергию второго
возбужденного состояния линейного гармонического осциллятора с
массой µ и частотой ω. Пробную функцию выбрать в виде Ψ(x; β, γ) =
B
1 − γx
2
exp
−
1
2
βx
2
, где β > 0, γ > 0 — вариационные парамет-
ры.
Решение. Волновая функция второго возбужденного состояния осцил-
лятора является четной, а первого — нечетной, т.е. они будут ортого-
нальны при любой параметризации, учитывающей четность. Поэтому
мы должны потребовать от пробной функции ортогональности толь-
ко к волновой функции основного состояния, найденной в примере
3..1:
R
+∞
−∞
Ψ(x; β, γ)Ψ
0
(x) dx = 0. После интегрирования мы получаем
дополнительное условие, связывающее параметры β и γ:
γ = β + x
−2
0
,
где x
2
0
=
}
µω
. Пробная функция параметризована таким образом, что-
бы при конечных значениях x дважды обратиться в нуль. Вычисление
энергетического функционала J
2
(β) требует многократного примене-
ния формулы
Z
+∞
−∞
ξ
2n
e
−ξ
2
dξ =
(2n − 1)!!
2
n
√
π
и является довольно громоздким. Явный вид функционала здесь не
приводится. Его минимум достигается при β
0
= x
−2
0
. Окончательное
решение выглядит следующим образом:
E
2
=
5
2
}ω; Ψ
2
(x) =
s
1
2x
0
√
π
1 − 2
x
2
x
2
0
exp
−
x
2
2x
2
0
.
39
Из условия минимума J2s (α) следует α0 = Z/2. Подставляя найденное
значение α0 в выражения для энергетического функционала и пробной
функции, имеем:
                                      �       �       �    �      �
                      2 2
                     Z e                 Z3       Zr          Zr
 E2s = J2s (α0 ) = −      ; Ψ1s (r) =          1−       exp −       .
                     8a0                8πa30     2a0         2a0

Как и в предыдущем примере, мы получили совпадение с точными
результатами.                                              �

Пример 3.4. Вычислить вариационным методом энергию второго
возбужденного состояния линейного гармонического осциллятора с
массой µ и частотой
              �     ω.�Пробную функцию выбрать в виде Ψ(x; β, γ) =
  �       �      1
B 1 − γx2 exp − βx2 , где β > 0, γ > 0 — вариационные парамет-
                 2
ры.
Решение. Волновая функция второго возбужденного состояния осцил-
лятора является четной, а первого — нечетной, т.е. они будут ортого-
нальны при любой параметризации, учитывающей четность. Поэтому
мы должны потребовать от пробной функции ортогональности толь-
ко к� волновой функции основного состояния, найденной в примере
      +∞
3..1: −∞ Ψ(x; β, γ)Ψ0 (x) dx = 0. После интегрирования мы получаем
дополнительное условие, связывающее параметры β и γ:

                            γ = β + x−2
                                     0 ,

          �
где x20 =   . Пробная функция параметризована таким образом, что-
         µω
бы при конечных значениях x дважды обратиться в нуль. Вычисление
энергетического функционала J2 (β) требует многократного примене-
ния формулы        � +∞
                                2     (2n − 1)!! √
                        ξ 2n e−ξ dξ =              π
                    −∞                   2n
и является довольно громоздким. Явный вид функционала здесь не
приводится. Его минимум достигается при β0 = x−2
                                               0 . Окончательное
решение выглядит следующим образом:
                          �        �         �  �       �
            5                  1          x2        x2
       E2 = �ω; Ψ2 (x) =        √    1 − 2 2 exp − 2 .
            2               2x0 π         x0        2x0

                                                                   �



                                 39

Страницы