ВУЗ:
Составители:
Из условия минимума J
2s
(α) следует α
0
= Z/2. Подставляя найденное
значение α
0
в выражения для энергетического функционала и пробной
функции, имеем:
E
2s
= J
2s
(α
0
) = −
Z
2
e
2
8a
0
; Ψ
1s
(r) =
s
Z
3
8πa
3
0
1 −
Zr
2a
0
exp
−
Zr
2a
0
.
Как и в предыдущем примере, мы получили совпадение с точными
результатами.
Пример 3.4. Вычислить вариационным методом энергию второго
возбужденного состояния линейного гармонического осциллятора с
массой µ и частотой ω. Пробную функцию выбрать в виде Ψ(x; β, γ) =
B
1 − γx
2
exp
−
1
2
βx
2
, где β > 0, γ > 0 — вариационные парамет-
ры.
Решение. Волновая функция второго возбужденного состояния осцил-
лятора является четной, а первого — нечетной, т.е. они будут ортого-
нальны при любой параметризации, учитывающей четность. Поэтому
мы должны потребовать от пробной функции ортогональности толь-
ко к волновой функции основного состояния, найденной в примере
3..1:
R
+∞
−∞
Ψ(x; β, γ)Ψ
0
(x) dx = 0. После интегрирования мы получаем
дополнительное условие, связывающее параметры β и γ:
γ = β + x
−2
0
,
где x
2
0
=
}
µω
. Пробная функция параметризована таким образом, что-
бы при конечных значениях x дважды обратиться в нуль. Вычисление
энергетического функционала J
2
(β) требует многократного примене-
ния формулы
Z
+∞
−∞
ξ
2n
e
−ξ
2
dξ =
(2n − 1)!!
2
n
√
π
и является довольно громоздким. Явный вид функционала здесь не
приводится. Его минимум достигается при β
0
= x
−2
0
. Окончательное
решение выглядит следующим образом:
E
2
=
5
2
}ω; Ψ
2
(x) =
s
1
2x
0
√
π
1 − 2
x
2
x
2
0
exp
−
x
2
2x
2
0
.
39
Из условия минимума J2s (α) следует α0 = Z/2. Подставляя найденное значение α0 в выражения для энергетического функционала и пробной функции, имеем: � � � � � 2 2 Z e Z3 Zr Zr E2s = J2s (α0 ) = − ; Ψ1s (r) = 1− exp − . 8a0 8πa30 2a0 2a0 Как и в предыдущем примере, мы получили совпадение с точными результатами. � Пример 3.4. Вычислить вариационным методом энергию второго возбужденного состояния линейного гармонического осциллятора с массой µ и частотой � ω.�Пробную функцию выбрать в виде Ψ(x; β, γ) = � � 1 B 1 − γx2 exp − βx2 , где β > 0, γ > 0 — вариационные парамет- 2 ры. Решение. Волновая функция второго возбужденного состояния осцил- лятора является четной, а первого — нечетной, т.е. они будут ортого- нальны при любой параметризации, учитывающей четность. Поэтому мы должны потребовать от пробной функции ортогональности толь- ко к� волновой функции основного состояния, найденной в примере +∞ 3..1: −∞ Ψ(x; β, γ)Ψ0 (x) dx = 0. После интегрирования мы получаем дополнительное условие, связывающее параметры β и γ: γ = β + x−2 0 , � где x20 = . Пробная функция параметризована таким образом, что- µω бы при конечных значениях x дважды обратиться в нуль. Вычисление энергетического функционала J2 (β) требует многократного примене- ния формулы � +∞ 2 (2n − 1)!! √ ξ 2n e−ξ dξ = π −∞ 2n и является довольно громоздким. Явный вид функционала здесь не приводится. Его минимум достигается при β0 = x−2 0 . Окончательное решение выглядит следующим образом: � � � � � 5 1 x2 x2 E2 = �ω; Ψ2 (x) = √ 1 − 2 2 exp − 2 . 2 2x0 π x0 2x0 � 39
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »