Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 61 стр.

UptoLike

Составители: 

(Указание: Воспользоваться результатом предыдущей задачи.)
38. Атом водорода помещен во внешнее магнитное поле B. Для элек-
трона найти
dˆs
x
dt
и
dˆs
y
dt
(ось Oz направлена вдоль B).
(Ответ:
dˆs
x
dt
=
|e|
}µ
B
z
ˆs
y
;
dˆs
y
dt
=
|e|
}µ
B
z
ˆs
x
.
Указание: Записать гамильтониан электрона в поле неподвижного ку-
лоновского центра в присутствии внешнего магнитного поля.)
39. Указать вид оператора спина ˆs
n
на произвольное направление,
определяемое единичным вектором n.
(Ответ: ˆs
n
=
}
2
cos θ sin θ · e
iϕ
sin θ · e
iϕ
cos θ
!
; углы (θ, ϕ) определяют на-
правление вектора n.)
40. Найти собственные значения оператора
ˆ
F = a +b
ˆ
σ (a число, b
числовой вектор).
(Ответ: F
1,2
= a ± b.)
41. Упростить выражение (a
ˆ
σ)
n
, где a — числовой вектор, n — целое
неотрицательное число.
(Ответ: a
n
— для четных n, a
n1
(a
ˆ
σ) — для нечетных n.)
42
. Найти явное выражение оператора вида
ˆ
F = F (a+b
ˆ
σ), где F (x)
произвольная функция переменной x, a = const, b — числовой вектор.
Рассмотреть, в частности, оператор
ˆ
F = exp(ib
ˆ
σ).
(Ответ:
ˆ
F =
F (a + b) + F (a b)
2
+
F (a + b) F (a b)
2b
b
ˆ
σ.)
61
(Указание: Воспользоваться результатом предыдущей задачи.)
38. Атом водорода помещен во внешнее магнитное поле B. Для элек-
              dŝx     dŝy
трона найти         и        (ось Oz направлена вдоль B).
               dt       dt
         dŝx      |e|          dŝy    |e|
(Ответ:        =       Bz ŝy ;      =−     Bz ŝx .
          dt       �µ            dt     �µ
Указание: Записать гамильтониан электрона в поле неподвижного ку-
лоновского центра в присутствии внешнего магнитного поля.)
39. Указать вид оператора спина ŝn на произвольное направление,
определяемое единичным
                 �        вектором n. �
               �   cos θ      sin θ · e−iϕ
(Ответ: ŝn =                              ; углы (θ, ϕ) определяют на-
               2 sin θ · eiϕ    − cos θ
правление вектора n.)
40. Найти собственные значения оператора F̂ = a + bσ̂ (a — число, b —
числовой вектор).
(Ответ: F1,2 = a ± b.)
41. Упростить выражение (aσ̂)n , где a — числовой вектор, n — целое
неотрицательное число.
(Ответ: an — для четных n, an−1 (aσ̂) — для нечетных n.)
42∗ . Найти явное выражение оператора вида F̂ = F (a+bσ̂), где F (x) —
произвольная функция переменной x, a = const, b — числовой вектор.
Рассмотреть, в частности, оператор F̂ = exp(ibσ̂).
(Ответ:
        F (a + b) + F (a − b) F (a + b) − F (a − b)
   F̂ =                      +                      bσ̂.)
                  2                     2b




                                  61