Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Еще одно отличие спина от орбитального момента состоит в том,
что спектр квадрата проекции состоит лишь из одного значения
}
2
4
,
поэтому
ˆs
2
i
=
1
4
}
2
ˆ
1, ˆσ
2
i
= I;
ˆ
s
2
=
3
4
}
2
ˆ
1,
ˆ
σ
2
= 3I, (6.26)
где I — единичная матрица 2 × 2. Часто ее не пишут, подразумевая
на соответствующем месте I. Единственное собственное значение
ˆ
s
2
можно представить в виде s
2
= }
2
s(s + 1), где s =
1
2
— по аналогии с
L
2
= }
2
l(l + 1).
Помимо коммутаторов, простой вид имеют также и антикоммута-
торы, составленные из спиновых операторов. Приведем эти соотноше-
ния для матриц Паули:
{ˆσ
i
, ˆσ
j
} = ˆσ
i
ˆσ
j
+ ˆσ
j
ˆσ
i
= 2δ
ij
ˆ
1. (6.27)
Электроны в состояниях с определенным значением проекции спина
на выделенное направление принято называть поляризованными в этом
направлении.
Пример 6.4. Электрон поляризован в направлении, задаваемом осью
Oz. Найти наблюдаемые значения и вероятности их обнаружения
для проекции спина на ось Oz
0
, составляющую с осью Oz угол θ.
Решение. Эта задача решается без использования спинового формализ-
ма. Достаточно лишь знать наблюдаемые свойства спина.
По условию, среднее значение проекции s
z
совпадает с наблюдае-
мым и равняется
}
2
. Очевидно, что
hs
z
0
i = hs
z
icos θ =
}
2
cos θ. (6.28)
Поскольку ось Oz
0
не совпадает с Oz, проекция спина на нее уже
не будет иметь определенного значения. Согласно общим свойствам
спина, его проекция на любое направление может принимать только
два значения: s
(±)
z
0
= ±
}
2
(это ответ на первый вопрос задачи). Пусть
в нашем случае вероятность обнаружения электрона с поляризацией
вдоль оси Oz
0
равна w
+
, а вероятность поляризации электрона в про-
тиволожном направлении — w
−
. Пользуясь теоремой о математическом
ожидании, мы получим еще одно выражение, помимо (6.28):
hs
z
0
i = w
+
s
(+)
z
0
+ w
−
s
(−)
z
0
=
}
2
(w
+
− w
−
). (6.29)
59
   Еще одно отличие спина от орбитального момента состоит в том,
                                                                    2
что спектр квадрата проекции состоит лишь из одного значения �4 ,
поэтому
                    1                      3
              ŝ2i = �2 1̂, σ̂i2 = I; ŝ2 = �2 1̂, σ̂ 2 = 3I,   (6.26)
                    4                      4
где I — единичная матрица 2 × 2. Часто ее не пишут, подразумевая
на соответствующем месте I. Единственное собственное значение ŝ2
можно представить в виде s2 = �2 s(s + 1), где s = 21 — по аналогии с
L2 = �2 l(l + 1).
   Помимо коммутаторов, простой вид имеют также и антикоммута-
торы, составленные из спиновых операторов. Приведем эти соотноше-
ния для матриц Паули:

                    {σ̂i , σ̂j } = σ̂i σ̂j + σ̂j σ̂i = 2δij 1̂.    (6.27)

   Электроны в состояниях с определенным значением проекции спина
на выделенное направление принято называть поляризованными в этом
направлении.
Пример 6.4. Электрон поляризован в направлении, задаваемом осью
Oz. Найти наблюдаемые значения и вероятности их обнаружения
для проекции спина на ось Oz � , составляющую с осью Oz угол θ.
Решение. Эта задача решается без использования спинового формализ-
ма. Достаточно лишь знать наблюдаемые свойства спина.
   По условию, среднее значение проекции sz совпадает с наблюдае-
                 �
мым и равняется . Очевидно, что
                 2
                                                  �
                      �sz� � = �sz � cos θ =        cos θ.         (6.28)
                                                  2
   Поскольку ось Oz � не совпадает с Oz, проекция спина на нее уже
не будет иметь определенного значения. Согласно общим свойствам
спина, его проекция на любое направление может принимать только
                (±)    �
два значения: sz� = ± (это ответ на первый вопрос задачи). Пусть
                       2
в нашем случае вероятность обнаружения электрона с поляризацией
вдоль оси Oz � равна w+ , а вероятность поляризации электрона в про-
тиволожном направлении — w− . Пользуясь теоремой о математическом
ожидании, мы получим еще одно выражение, помимо (6.28):

                            (+)           (−)      �
               �sz� � = w+ sz� + w− sz� =            (w+ − w− ).   (6.29)
                                                   2



                                       59

Страницы