Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

только нетривиальные решения?):
s
2
z
−
}
2
4
= 0. (6.24)
Данное условие выполняется при таких значениях s
z
, которые являют-
ся корнями характеристического уравнения (6.24). Их два: s
(±)
z
= ±
}
2
.
Данный факт подтверждается экспериментально.
Собственные спиноры, соответствующие каждому из собственных
значений ˆs
z
, можно найти непосредственной подстановкой в систему
(6.22):
для s
(+)
z
=
}
2
}
2
a =
}
2
a; −
}
2
b =
}
2
b, откуда a 6= 0 (выбирается
произвольно), b = 0;
для s
(−)
z
= −
}
2
}
2
a = −
}
2
a; −
}
2
b = −
}
2
b, откуда b 6= 0 (выби-
рается произвольно), a = 0.
Таким образом, χ
+
= a
1
0
!
, χ
−
= b
0
1
!
. Произвольные пока норми-
ровочные константы a и b находятся из условия нормировки спиноров
на единицу χ
†
χ = 1. Окончательный ответ:
χ
+
=
1
0
!
, χ
−
=
0
1
!
. (6.25)
Эрмитовость оператора ˆs
z
влечет ортогональность собственных функ-
ций. Проверим данное утверждение, используя явный вид спиноров
(6.25):
χ
†
+
χ
−
=
1 0
0
1
!
= 1 · 0 + 0 · 1 = 0.
Условие полноты спиноров (6.25) сводится к тому, чтобы матрица
P
p=+,−
χ
p
χ
†
p
(ее размерность 2 × 2 — обратить внимание на место для
знака †!) была единичной. Для наших спиноров условие полноты вы-
полняется:
χ
+
χ
†
+
+ χ
−
χ
†
−
=
1
0
!
1 0
+
0
1
!
0 1
=
1 0
0 1
!
= I,
и χ
±
образуют базис в пространстве 2-компонентных спиноров.
Таким образом, задача формально сводится к диагонализации со-
ответствующей матрицы Паули.
57
только нетривиальные решения?):

                                      �2
                              s2z   −    = 0.                       (6.24)
                                      4
Данное условие выполняется при таких значениях sz , которые являют-
                                                                        �
ся корнями характеристического уравнения (6.24). Их два: s (±)     =± .
                                                                z
                                                                        2
Данный факт подтверждается экспериментально.
    Собственные спиноры, соответствующие каждому из собственных
значений ŝz , можно найти непосредственной подстановкой в систему
(6.22):
                �    �      �         �      �
    для s(+) =         a = a; − b = b, откуда a �= 0 (выбирается
         z
                2    2      2         2      2
произвольно), b = 0;
                  �    �         �        �         �
    для s(−) =−          a = − a; − b = − b, откуда b �= 0 (выби-
         z
                  2    2         2        2         2
рается произвольно), a = 0.
                           � �            � �
                             1              0
    Таким образом, χ+ = a        , χ− = b      . Произвольные пока норми-
                             0              1
ровочные константы a и b находятся из условия нормировки спиноров
на единицу χ† χ = 1. Окончательный ответ:
                            � �                 � �
                               1                  0
                      χ+ =          ,   χ− =          .             (6.25)
                               0                  1

Эрмитовость оператора ŝz влечет ортогональность собственных функ-
ций. Проверим данное утверждение, используя явный вид спиноров
(6.25):
                              � �
                       �     � 0
               χ†+ χ− = 1 0        = 1 · 0 + 0 · 1 = 0.
                                1

 �Условие  полноты спиноров (6.25) сводится к тому, чтобы матрица
    χp χp (ее размерность 2 × 2 — обратить внимание на место для
        †
p=+,−
знака †!) была единичной. Для наших спиноров условие полноты вы-
полняется:
                        � �        � �         �     �
                         1  �   �   0  �   �     1 0
      χ+ χ†+ + χ− χ†− =      1 0 +      0 1 =          = I,
                         0          1            0 1

и χ± образуют базис в пространстве 2-компонентных спиноров.
   Таким образом, задача формально сводится к диагонализации со-
ответствующей матрицы Паули.


                                      57

Страницы