Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Из (6.10) с учетом условий (6.7), (6.8) имеем:
Z
1
= −Z
2
= Z 6= 0. (6.12)
Преобразуя систему (6.11) по формуле Эйлера, мы приходим к уравне-
ниям:
Y (X
1
− X
2
) sin δ
y
= 0; Y (X
1
− X
2
) cos δ
y
= 2X(Y
1
− Y
2
). (6.13)
Матрица ˆσ
y
не может быть вещественной (это нарушит коммутацион-
ные соотношения (6.3)), поэтому из (6.13) следует, что
X
1
= X
2
=
˜
X; Y
1
= Y
2
=
˜
Y . (6.14)
Более подробной информации о параметрах матриц Паули (6.6) из со-
отношения (6.9) извлечь нельзя. Необходимо теперь использовать все
оставшиеся коммутационные соотношения из (6.3).
Рассмотрим теперь коммутатор
[ˆσ
z
, ˆσ
x
] = 2iσ
y
. (6.15)
Подстановка (6.6) в (6.15) с учетом (6.12) и (6.14) дает
˜
X = 0; (6.16)
Y Z = −i Xe
iδ
y
= i Xe
−iδ
y
. (6.17)
Ненулевые значения X, Y и Z (свойства (6.7), (6.8)), а также веще-
ственный диапазон параметров матриц (6.6) приводят к необходимости
положить в (6.17).
δ
y
=
π
2
(6.18)
(взято наименьшее неотрицательное значение).
Воспользуемся, наконец, коммутатором
[ˆσ
y
, ˆσ
z
] = 2iσ
x
. (6.19)
Подставляя (6.6) в (6.19) и учитывая (6.12), (6.14), (6.16) и (6.18), по-
лучаем
˜
Y = 0;
XZ = Y. (6.20)
Оставшиеся пока не определенными значения X, Y, Z находим из
(6.10), (6.17) и (6.20) подстановкой в них уже найденных параметров.
К сожалению, получающаюся при это система
XY = Z; Y Z = X; ZX = Y
55
Из (6.10) с учетом условий (6.7), (6.8) имеем:

                               Z1 = −Z2 = Z �= 0.                      (6.12)

Преобразуя систему (6.11) по формуле Эйлера, мы приходим к уравне-
ниям:

    Y (X1 − X2 ) sin δy = 0;     Y (X1 − X2 ) cos δy = 2X(Y1 − Y2 ).   (6.13)

Матрица σ̂y не может быть вещественной (это нарушит коммутацион-
ные соотношения (6.3)), поэтому из (6.13) следует, что

                     X1 = X2 = X̃;             Y1 = Y2 = Ỹ .          (6.14)

Более подробной информации о параметрах матриц Паули (6.6) из со-
отношения (6.9) извлечь нельзя. Необходимо теперь использовать все
оставшиеся коммутационные соотношения из (6.3).
   Рассмотрим теперь коммутатор

                                 [σ̂z , σ̂x ] = 2iσy .                 (6.15)

Подстановка (6.6) в (6.15) с учетом (6.12) и (6.14) дает

                                      X̃ = 0;                          (6.16)
                        Y Z = −i Xeiδy = i Xe−iδy .                    (6.17)

Ненулевые значения X, Y и Z (свойства (6.7), (6.8)), а также веще-
ственный диапазон параметров матриц (6.6) приводят к необходимости
положить в (6.17).
                                   π
                              δy =                           (6.18)
                                   2
(взято наименьшее неотрицательное значение).
   Воспользуемся, наконец, коммутатором

                                 [σ̂y , σ̂z ] = 2iσx .                 (6.19)

Подставляя (6.6) в (6.19) и учитывая (6.12), (6.14), (6.16) и (6.18), по-
лучаем
                                Ỹ = 0;
                                     XZ = Y.                           (6.20)
    Оставшиеся пока не определенными значения X, Y, Z находим из
(6.10), (6.17) и (6.20) подстановкой в них уже найденных параметров.
К сожалению, получающаюся при это система

                  XY = Z;            Y Z = X;            ZX = Y


                                         55

Страницы