Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Свойство эрмитовости (6.4) позволяет параметризовать мат-
рицы Паули следующим образом:
ˆσ
x,y,z
=
P Se
iδ
Se
−iδ
Q
!
. (6.5)
Здесь P , Q, S, δ — подлежащие определению вещественные параметры,
причем S > 0.
Из курса линейной алгебры известно, что любую эрмитову матрицу
с помощью надлежащего унитарного преобразования можно привести
к диагональному виду. Поэтому для упрощения дальнейших расчетов
потребуем, чтобы одна из матриц, например, ˆσ
z
, была диагональной.
Остальные матрицы будут недиагональны, так как в противном случае
они бы коммутировали, вступая в противоречие с (6.3).
Таким образом, с учетом выражения (6.5) и сделанных замечаний
мы будем искать матрицы Паули в виде
ˆσ
x
=
X
1
Xe
iδ
x
Xe
−iδ
x
X
2
!
; ˆσ
y
=
Y
1
Y e
−iδ
y
Y e
iδ
y
Y
2
!
; ˆσ
z
=
Z
1
0
0 Z
2
!
.
(6.6)
На вещественные параметры в (6.6) налагаются дополнительные усло-
вия:
X > 0, Y > 0; (6.7)
ˆσ
z
6= 0. (6.8)
Будем искать параметры (6.6), используя коммутационные соотно-
шения (6.3), а также учитывая условия (6.6) — (6.8). Соотношения
(6.3) дают 12 уравнений, из которых независимыми являются только
9 вследствие антиэрмитовости коммутатора эрмитовых матриц. Число
независимых параметров в (6.6) равно 10, и один из них может быть
выбран произвольно. Поэтому мы положим δ
x
= 0.
Рассмотрим коммутатор
[ˆσ
x
, ˆσ
y
] = 2iˆσ
z
. (6.9)
Подставляя (6.6) в (6.9) и перемножая матрицы по правилам линейной
алгебры, получаем 4 уравнения:
XY sin δ
y
= Z
1
,
XY sin δ
y
= −Z
2
;
(6.10)
Y e
iδ
y
(X
1
− X
2
) = X(Y
1
− Y
2
),
Y e
−iδ
y
(X
1
− X
2
) = X(Y
1
− Y
2
)
(6.11)
54
Решение. Свойство эрмитовости (6.4) позволяет параметризовать мат-
рицы Паули следующим образом:
                               �              �
                                           iδ
                                  P     Se
                     σ̂x,y,z =                  .             (6.5)
                                    −iδ
                                 Se      Q
Здесь P , Q, S, δ — подлежащие определению вещественные параметры,
причем S > 0.
    Из курса линейной алгебры известно, что любую эрмитову матрицу
с помощью надлежащего унитарного преобразования можно привести
к диагональному виду. Поэтому для упрощения дальнейших расчетов
потребуем, чтобы одна из матриц, например, σ̂z , была диагональной.
Остальные матрицы будут недиагональны, так как в противном случае
они бы коммутировали, вступая в противоречие с (6.3).
    Таким образом, с учетом выражения (6.5) и сделанных замечаний
мы будем искать матрицы Паули в виде
        �                 �         �                �         �      �
           X1      Xe iδx
                                       Y1    Ye −iδy
                                                                 Z1 0
  σ̂x =                     ; σ̂y =                    ; σ̂z =          .
          Xe−iδx     X2               Y eiδy  Y2                 0 Z2
                                                                      (6.6)
На вещественные параметры в (6.6) налагаются дополнительные усло-
вия:
                             X > 0,        Y > 0;                     (6.7)
                                  σ̂z �= 0.                           (6.8)
    Будем искать параметры (6.6), используя коммутационные соотно-
шения (6.3), а также учитывая условия (6.6) — (6.8). Соотношения
(6.3) дают 12 уравнений, из которых независимыми являются только
9 вследствие антиэрмитовости коммутатора эрмитовых матриц. Число
независимых параметров в (6.6) равно 10, и один из них может быть
выбран произвольно. Поэтому мы положим δ x = 0.
    Рассмотрим коммутатор
                             [σ̂x , σ̂y ] = 2iσ̂z .                   (6.9)
Подставляя (6.6) в (6.9) и перемножая матрицы по правилам линейной
алгебры, получаем 4 уравнения:
                            XY sin δy = Z1 ,
                                                                     (6.10)
                            XY sin δy = −Z2 ;

                      Y eiδy (X1 − X2 ) = X(Y1 − Y2 ),
                                                                     (6.11)
                     Y e−iδy (X1 − X2 ) = X(Y1 − Y2 )

                                      54

Страницы