Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Глава 6.
Нерелятивистская теория спина электрона
Опыты Штерна и Герлаха показывают, что электрон, находящий-
ся в s-состоянии, обладает магнитным моментом с проекцией ±
e}
2µ
e
c
.
Данный факт невозможно объяснить в рамках классической механики
(см. задачу 33). Согласно результатам экспериментов Эйнштейна – де
Хааза, проекция “собственного” механического момента также может
принимать только два значения: ±
}
2
. Поэтому спиновое гиромагнитное
отношение вдвое больше орбитального! Наконец, спиновые эффекты не
имеют классического аналога, так как исчезают при } → 0.
Таким образом, электрону присущ “собственный” механический мо-
мент, не связанный с орбитальным движением и именуемый спиновым
моментом или просто спином (от англ. spin — веретено). Он обладает
всеми известными свойствами механического момента: его оператор —
псевдовектор, компоненты которого удовлетворяют тем же коммутаци-
онным соотношениям, т.е.
[ˆs
i
, ˆs
j
] = i}
X
k
ε
ijk
ˆs
k
, (6.1)
ˆs
j
являются линейными эрмитовыми операторами.
Спиновому моменту, однако, присущ ряд свойств, отличающих его
от орбитального момента. Прежде всего его проекция модет прини-
мать только два значения: ±
1
2
}, т.е. равняться полуцелому числу }
(напомним, что наблюдаемая проекция орбитального момента всегда
принимает значения, равные целому числу }). Но тогда для квантово-
механического рассмотрения спина нельзя использовать координат-
ное представление! Действительно, если воспользоваться аналогией с
орбитальным моментом, то в координатном представлении собственная
функция оператора ˆs
z
должна иметь вид: Ψ
±
1
2
(ϕ) =
1
√
2π
e
±
1
2
iϕ
. Тогда
получим: Ψ
±
1
2
(ϕ + 2π) = −Ψ
±
1
2
(ϕ), т.е. функция неоднозначна!
Из этих соображений вводится матричное представление для опи-
сания спиновых состояний микрочастиц. Число наблюдаемых значе-
ний s
z
равно двум и поэтому в качестве спиновых операторов можно
использовать комплексные матрицы размерности 2 × 2. В этом случае
волновыми функциями будут двухкомпонентные столбцы комплексных
52
Глава 6.

Нерелятивистская теория спина электрона

   Опыты Штерна и Герлаха показывают, что электрон, находящий-
                                                              e�
ся в s-состоянии, обладает магнитным моментом с проекцией ±        .
                                                             2µe c
Данный факт невозможно объяснить в рамках классической механики
(см. задачу 33). Согласно результатам экспериментов Эйнштейна – де
Хааза, проекция “собственного” механического момента также может
                                         �
принимать только два значения: ± . Поэтому спиновое гиромагнитное
                                         2
отношение вдвое больше орбитального! Наконец, спиновые эффекты не
имеют классического аналога, так как исчезают при � → 0.
   Таким образом, электрону присущ “собственный” механический мо-
мент, не связанный с орбитальным движением и именуемый спиновым
моментом или просто спином (от англ. spin — веретено). Он обладает
всеми известными свойствами механического момента: его оператор —
псевдовектор, компоненты которого удовлетворяют тем же коммутаци-
онным соотношениям, т.е.
                                           �
                         [ŝi , ŝj ] = i�   εijk ŝk ,       (6.1)
                                       k

ŝj являются линейными эрмитовыми операторами.
     Спиновому моменту, однако, присущ ряд свойств, отличающих его
от орбитального момента. Прежде всего его проекция модет прини-
мать только два значения: ± 12 �, т.е. равняться полуцелому числу �
(напомним, что наблюдаемая проекция орбитального момента всегда
принимает значения, равные целому числу �). Но тогда для квантово-
механического рассмотрения спина нельзя использовать координат-
ное представление! Действительно, если воспользоваться аналогией с
орбитальным моментом, то в координатном представлении собственная
                                                              1
функция оператора ŝz должна иметь вид: Ψ± 21 (ϕ) = √12π e± 2 iϕ . Тогда
получим: Ψ± 21 (ϕ + 2π) = −Ψ± 12 (ϕ), т.е. функция неоднозначна!
     Из этих соображений вводится матричное представление для опи-
сания спиновых состояний микрочастиц. Число наблюдаемых значе-
ний sz равно двум и поэтому в качестве спиновых операторов можно
использовать комплексные матрицы размерности 2 × 2. В этом случае
волновыми функциями будут двухкомпонентные столбцы комплексных


                                  52

Страницы