Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

чисел — спиноры
1
. Аргумент у таких функций дискретен. Им является
номер элемента в спиноре. В дальнейшем там, где это не вносит недора-
зумений, аргумент спиновой функции мы будем опускать. Стандартные
условия, налагаемые на спиноры, сводятся к требованию однозначности
и ограниченности их элементов. Формально спиноры в алгебраических
выкладках можно рассматривать как матрицы размерности 2 ×1 вида
a
b
. В бра-векторе спинор заменяется эрмитово-сопряженной конструк-
цией, т.е. превращается в строку из двух комплексно-сопряженных
элементов (a
∗
b
∗
).
Пример 6.1. Нормировать спиноры: а) χ = A
a
b
(кроме a = b = 0);
б) χ = A
3
4i
.
Решение. а) Нормируем спинор на единицу условием:
hχ|χi = χ
†
χ = A
a
∗
b
∗
a
b
!
= A(a
∗
a + b
∗
b) = A(|a|
2
+ |b|
2
) = 1.
Отсюда A = (|a|
2
+ |b|
2
)
−
1
2
(выбрали действительное положительное
число).
б) Пользуясь результатом предыдущего пункта задачи, имеем A =
1
5
.
Оператор спина удобно представить в виде
ˆ
s =
}
2
ˆ
σ, (6.2)
где
ˆ
σ = (ˆσ
x
, ˆσ
y
, ˆσ
z
) — так называемые матрицы Паули. Для них, со-
гласно (6.1) и (6.2), выполняются коммутационные соотношения:
[ˆσ
i
, ˆσ
j
] = 2i
X
k
ε
ijk
ˆσ
k
. (6.3)
Поскольку оператор спина эрмитов, матрицы Паули также эрмитовы:
ˆσ
†
k
= ˆσ
k
. (6.4)
Пример 6.2. Получить явный вид матриц Паули
2
.
1
Их нельзя отождествлять с физическими векторами, потому что возникают про-
блемы с введением операции инверсии.
2
Данный пример является дополнительным для изучения.
53
чисел — спиноры1 . Аргумент у таких функций дискретен. Им является
номер элемента в спиноре. В дальнейшем там, где это не вносит недора-
зумений, аргумент спиновой функции мы будем опускать. Стандартные
условия, налагаемые на спиноры, сводятся к требованию однозначности
и ограниченности их элементов. Формально спиноры в алгебраических
выкладках
�a�         можно рассматривать как матрицы размерности 2 × 1 вида
 b . В бра-векторе спинор заменяется эрмитово-сопряженной конструк-
цией, т.е. превращается в строку из двух комплексно-сопряженных
элементов (a∗ b∗ ).
                                               � �
Пример 6.1. Нормировать спиноры: а) χ = A ab (кроме a = b = 0);
         �3�
б) χ = A 4i  .
Решение. а) Нормируем спинор на единицу условием:
                          � �
                  �      � a
  �χ|χ� = χ† χ = A a∗ b∗      = A(a∗ a + b∗ b) = A(|a|2 + |b|2 ) = 1.
                           b
                             1
Отсюда A = (|a|2 + |b|2 )− 2 (выбрали действительное положительное
число).
    б) Пользуясь результатом предыдущего пункта задачи, имеем A =
1
  .                                                             �
5
    Оператор спина удобно представить в виде
                                         �
                                  ŝ =     σ̂,                           (6.2)
                                         2
где σ̂ = (σ̂x , σ̂y , σ̂z ) — так называемые матрицы Паули. Для них, со-
гласно (6.1) и (6.2), выполняются коммутационные соотношения:
                                                 �
                               [σ̂i , σ̂j ] = 2i   εijk σ̂k .      (6.3)
                                           k

Поскольку оператор спина эрмитов, матрицы Паули также эрмитовы:

                                  σ̂k† = σ̂k .                           (6.4)

Пример 6.2. Получить явный вид матриц Паули 2 .
  1 Их нельзя отождествлять с физическими векторами, потому что возникают про-
блемы с введением операции инверсии.
   2 Данный пример является дополнительным для изучения.




                                      53

Страницы