Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

однозначно не решается. Если же дополнительно потребовать выпол-
нения условия Z > 0 (это соответствует Z
1
> Z
2
в (6.6) и(6.12)), то
единственным ненулевым ее решением будет X = Y = Z = 1.
Таким образом, мы нашли явный вид всех матриц Паули.
Приведем теперь явный вид матриц Паули в представлении с диа-
гональной ˆσ
z
(σ
z
-представление):
ˆσ
x
=
0 1
1 0
!
; ˆσ
y
=
0 −i
i 0
!
; ˆσ
z
=
1 0
0 −1
!
. (6.21)
Напомним еще раз о том, что матрицы Паули определены неодно-
значно. Используя произвольную унитарную матрицу
ˆ
U размерности
2 × 2, можно из (6.21) получить другое представление матриц Паули
ˆ
σ
0
=
ˆ
U
ˆ
σ
ˆ
U
−1
, которые также удовлетворяют свойству (6.4) и являются
самосопряженными. Заметим, что произвольная ненулевая комплекс-
ная матрица 2 × 2 может быть однозначно разложена по “базису”, со-
стоящему из единичной матрицы и трех матриц Паули.
Пример 6.3. Найти наблюдаемые значения s
x,y,z
и соответствую-
щие им спиновые состояния.
Решение. Воспользуемся явным видом спиновых операторов (см. (6.2),
(6.21)).
а) Рассмотрим s
z
. Запишем уравнение для собственных функций и
собственных значений:
ˆs
z
χ = s
z
χ.
В явном виде это уравнение преобразуется в систему двух линейных
алгебраических уравнений относительно комплексных чисел a и b, из
которых составляется спинор χ =
a
b
!
:
}
2
a = s
z
a; −
}
2
b = s
z
b, (6.22)
или в матричной форме
}
2
− s
z
0
0 −
}
2
− s
z
!
a
b
!
=
0
0
!
. (6.23)
Как известно из курса линейной алгебры, данная система будет иметь
нетривиальное решение лишь в том случае, если выполняется равен-
ство нулю детерминанта матрицы в (6.23) (почему нас интересуют
56
однозначно не решается. Если же дополнительно потребовать выпол-
нения условия Z > 0 (это соответствует Z1 > Z2 в (6.6) и(6.12)), то
единственным ненулевым ее решением будет X = Y = Z = 1.
   Таким образом, мы нашли явный вид всех матриц Паули.          �
   Приведем теперь явный вид матриц Паули в представлении с диа-
гональной σ̂z (σz -представление):
                �      �                �                �                   �               �
                    0 1                     0 −i                                 1       0
        σ̂x =              ;    σ̂y =                        ;       σ̂z =                       .   (6.21)
                    1 0                     i       0                            0 −1

Напомним еще раз о том, что матрицы Паули определены неодно-
значно. Используя произвольную унитарную матрицу Û размерности
2 × 2, можно из (6.21) получить другое представление матриц Паули
σ̂ � = Û σ̂ Û −1 , которые также удовлетворяют свойству (6.4) и являются
самосопряженными. Заметим, что произвольная ненулевая комплекс-
ная матрица 2 × 2 может быть однозначно разложена по “базису”, со-
стоящему из единичной матрицы и трех матриц Паули.
Пример 6.3. Найти наблюдаемые значения sx,y,z и соответствую-
щие им спиновые состояния.
Решение. Воспользуемся явным видом спиновых операторов (см. (6.2),
(6.21)).
    а) Рассмотрим sz . Запишем уравнение для собственных функций и
собственных значений:
                             ŝz χ = sz χ.
В явном виде это уравнение преобразуется в систему двух линейных
алгебраических уравнений относительно
                                � � комплексных чисел a и b, из
                                 a
которых составляется спинор χ =    :
                                 b

                               �                          �
                                 a = sz a;               − b = sz b,                                 (6.22)
                               2                          2
или в матричной форме
                 �                                       �� �              � �
                   �
                   2 − sz                       0          a                0
                                                                       =             .               (6.23)
                               0        − �2 − sz                b           0

Как известно из курса линейной алгебры, данная система будет иметь
нетривиальное решение лишь в том случае, если выполняется равен-
ство нулю детерминанта матрицы в (6.23) (почему нас интересуют


                                                    56

Страницы