Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

б) Рассмотрим теперь оператор ˆs
y
. Для него несколько изменим ход
решения. Диагонализуем матрицу ˆσ
y
, решая характеристическое урав-
нение
−σ
y
−i
i −σ
y
= 0,
относительно σ
y
. Получаем два корня: σ
(±)
y
= ±1 — собственные зна-
чения матрицы ˆσ
y
.
Для нахождения χ
+
решаем систему: −ib = a; ia = b.
Более определенно о решении сказать нельзя ничего, и мы получаем
χ
+
= a
1
i
!
, где a 6= 0.
Для нахождения χ
−
решаем систему ib = a; ia = −b
и получаем χ
−
= a
1
−i
!
.
После нормироваки имеем: χ
±
=
1
√
2
1
±i
!
.
Проверим ортогональность χ
+
и χ
−
:
χ
†
+
χ
−
=
1
2
1 −i
1
−i
!
= 1
2
+ i
2
= 0.
Убедимся в полноте:
χ
+
χ
†
+
+ χ
−
χ
†
−
=
1
2
(
1
i
!
1 −i
+
1
−i
!
1 i
)
=
1 0
0 1
!
= I.
Теперь собственные значения ˆs
y
можем найти, пользуясь (6.2):
s
(±)
y
=
}
2
σ
(±)
y
= ±
}
2
, т.е. наблюдаемые значения s
y
— те же, что и у
s
z
.
Предлагаем самостоятельно рассмотреть оператор s
x
.
Решая этот пример, мы смогли убедиться в том, что собствен-
ные значения проекции спина на выделенное направление не зави-
сят от выбора представления. Соответствующие им спиноры, наобо-
рот, определяются представлением; они имеют особенно простой вид в
том представлении, которое диагонализует оператор проекции спина:
χ
+
=
1
0
!
, χ
−
=
0
1
!
.
58
   б) Рассмотрим теперь оператор ŝy . Для него несколько изменим ход
решения. Диагонализуем матрицу σ̂y , решая характеристическое урав-
нение                     �            �
                          �−σ          �
                          � y −i �
                          �            � = 0,
                          � i   −σy �
                                        (±)
относительно σy . Получаем два корня: σy = ±1 — собственные зна-
чения матрицы σ̂y .
   Для нахождения χ+ решаем систему:        −ib = a; ia = b.
Более определенно
      � �           о решении сказать нельзя ничего, и мы получаем
        1
χ+ = a    , где a �= 0.
        i
   Для нахождения  � χ−�решаем систему     ib = a; ia = −b
                    1
и получаем χ− = a        .
                    −i
                                       �      �
                                  1    1
   После нормироваки имеем: χ± = √         .
                                   2 ±i
   Проверим ортогональность χ+ и χ− :
                                � �
                       1 �     � 1
              χ†+ χ− =    1 −i        = 12 + i2 = 0.
                       2         −i

  Убедимся в полноте:
                      �� �         � �        � �           �
                    1   1  �    �   1  �    �     1        0
  χ+ χ†+ + χ− χ†− =         1 −i +       1 i   =                = I.
                    2   i           −i            0        1

     Теперь собственные значения ŝy можем найти, пользуясь (6.2):
         �         �
s(±)  = σy(±) = ± , т.е. наблюдаемые значения sy — те же, что и у
 y
         2         2
sz .
     Предлагаем самостоятельно рассмотреть оператор sx .        �
   Решая этот пример, мы смогли убедиться в том, что собствен-
ные значения проекции спина на выделенное направление не зави-
сят от выбора представления. Соответствующие им спиноры, наобо-
рот, определяются представлением; они имеют особенно простой вид в
том представлении,
      � �        � �которое диагонализует оператор проекции спина:
        1         0
χ+ =      , χ− =     .
        0         1


                                 58

Страницы