Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Приравнивая (6.28) и (6.29), мы получаем первое уравнение для
искомых вероятностей w
pm
:
w
+
− w
−
= cos θ. (6.30)
Второе уравнение следует из общего свойства вероятностей:
w
+
+ w
−
= 1. (6.31)
Совместное решение уравнений (6.30) и (6.31) дает ответ и на второй
вопрос задачи:
w
+
=
1 + cos θ
2
= cos
2
θ
2
; w
−
=
1 − cos θ
2
= sin
2
θ
2
.
Предлагаем самостоятельно проанализировать ответ при различных
значениях угла θ. Рассмотреть, в частности, случаи θ = 0,
π
2
, π.
Задачи для самостоятельного решения
33. Будем предполагать, что электрон представляет собой равномерно
заряженный шарик с радиусом, равным классическому радиусу элек-
трона (заряд и массу электрона считать известными). Какова эквато-
риальная скорость точек электрона, если допустить, что спиновый маг-
нитный момент создается простым вращением электрона вокруг своей
“оси”?
(Ответ: 342.5c.)
34. Пользуясь явным видом матриц Паули (6.21), проверить свойства
(6.9), (6.26) и (6.27).
35. Постулируя (6.9) и зная свойства спектра ˆs
z
и
ˆ
s
2
, доказать (6.27),
не используя явный вид матриц Паули.
(Указание: воспользоваться свойством (6.26).)
36. Исходя из (6.9) и (6.27), доказать тождество:
ˆσ
i
ˆσ
j
= δ
ij
ˆ
1 + i
X
k
ε
ijk
ˆσ
k
.
37. Доказать тождество, важное в релятивистской теории спина:
(
ˆ
σ
ˆ
a)(
ˆ
σ
ˆ
b) = (
ˆ
a
ˆ
b) + i
ˆ
σ[
ˆ
a ×
ˆ
b]
(
ˆ
a и
ˆ
b — произвольные векторные операторы, не действующие на спи-
новые переменные).
60
   Приравнивая (6.28) и (6.29), мы получаем первое уравнение для
искомых вероятностей wpm :

                                w+ − w− = cos θ.                             (6.30)

Второе уравнение следует из общего свойства вероятностей:

                                  w+ + w− = 1.                               (6.31)

Совместное решение уравнений (6.30) и (6.31) дает ответ и на второй
вопрос задачи:
                 1 + cos θ       θ                      1 − cos θ       θ
          w+ =             = cos2 ;            w− =               = sin2 .
                     2           2                         2            2
Предлагаем самостоятельно проанализировать ответ при различных
значениях угла θ. Рассмотреть, в частности, случаи θ = 0, π2 , π. �


Задачи для самостоятельного решения

33. Будем предполагать, что электрон представляет собой равномерно
заряженный шарик с радиусом, равным классическому радиусу элек-
трона (заряд и массу электрона считать известными). Какова эквато-
риальная скорость точек электрона, если допустить, что спиновый маг-
нитный момент создается простым вращением электрона вокруг своей
“оси”?
(Ответ: 342.5c.)
34. Пользуясь явным видом матриц Паули (6.21), проверить свойства
(6.9), (6.26) и (6.27).
35. Постулируя (6.9) и зная свойства спектра ŝz и ŝ2 , доказать (6.27),
не используя явный вид матриц Паули.
(Указание: воспользоваться свойством (6.26).)
36. Исходя из (6.9) и (6.27), доказать тождество:
                                             �
                        σ̂i σ̂j = δij 1̂ + i   εijk σ̂k .
                                                k


37. Доказать тождество, важное в релятивистской теории спина:

                         (σ̂ â)(σ̂ b̂) = (âb̂) + iσ̂[â × b̂]

(â и b̂ — произвольные векторные операторы, не действующие на спи-
новые переменные).


                                          60

Страницы