Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
Подставим теперь в коммутатор операторы проекций в виде (2.23):
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
l
]
(2.23)
= [
X
s t
ε
kst
x
s
ˆp
t
,
X
σ τ
ε
lστ
x
σ
ˆp
τ
]
(2.8)
=
X
s σ
t τ
ε
kst
ε
lστ
[x
s
ˆp
t
, x
σ
ˆp
τ
]
(2.28)
=
= i}
X
σ t
x
σ
ˆp
t
X
s
ε
tks
ε
lσs
− i}
X
s τ
x
s
ˆp
τ
X
σ
ε
ksσ
ε
τlσ
(В.15)
=
= i}
X
σ t
x
σ
ˆp
t
(δ
tl
δ
kσ
− δ
tσ
δ
kl
) − i}
X
s τ
x
s
ˆp
τ
(δ
kτ
δ
sl
− δ
kl
δ
sτ
).
Переобозначим в последней сумме бегущие индексы s → σ, τ → t:
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
l
] = i}
X
σ t
x
σ
ˆp
t
(δ
lt
δ
kσ
− δ
lσ
δ
kt
)
(В.15)
= i}
X
σ t m
ε
lkm
ε
tσm
x
σ
ˆp
t
=
= i}
X
m
ε
klm
X
σ t
ε
mσt
x
σ
ˆp
t
| {z }
ˆ
L
m
= i}
X
m
ε
klm
ˆ
L
m
.
При выполнении всех вычислений мы регулярно использовали пере-
становочные свойства символа Леви–Чивита. Выпишем теперь оконча-
тельный результат:
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
l
] = i}
X
m
ε
klm
ˆ
L
m
. (2.29)
Тождество (2.29) состоит из трех тривиальных соотношений:
[
ˆ
L
x
,
ˆ
L
y
] = i}
ˆ
L
z
; [
ˆ
L
y
,
ˆ
L
z
] = i}
ˆ
L
x
; [
ˆ
L
z
,
ˆ
L
x
] = i}
ˆ
L
y
.
Их можно было бы получить и без использования символа Леви–
Чивита на основе тривиальных коммутационных соотношений, найден-
ных в предыдущих примерах.
Пример 2.16. Вычислить коммутатор [
ˆ
L
k
,
ˆ
L
2
].
Решение. Представим
ˆ
L
2
в декартовом базисе:
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
2
] = [
ˆ
L
k
,
X
l
ˆ
L
2
l
]
(2.8)
=
X
l
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
l
ˆ
L
l
]
(2.13)
=
=
X
l
{[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
l
]
ˆ
L
l
+
ˆ
L
l
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
l
]}
(2.29)
= i}
X
l m
ε
klm
(
ˆ
L
m
ˆ
L
l
+
ˆ
L
l
ˆ
L
m
) =
                                                                 26


Подставим теперь в коммутатор операторы проекций в виде (2.23):

               (2.23)   X                             X                    (2.8)     X                                    (2.28)
  [L̂k , L̂l ] = [                  εkst xs p̂t ,          εlστ xσ p̂τ ] =                    εkst εlστ [xs p̂t , xσ p̂τ ] =
                           st                         στ                             sσ
                                                                                     tτ
                     X                  X                             X                 X                      (В.15)
              = i}           xσ p̂t               εtks εlσs − i}            xs p̂τ                εksσ ετ lσ    =
                      σt                  s                           sτ                  σ
                        X                                                          X
                 = i}               xσ p̂t (δtl δkσ − δtσ δkl ) − i}                          xs p̂τ (δkτ δsl − δkl δsτ ).
                           σt                                                        sτ

Переобозначим в последней сумме бегущие индексы s → σ, τ → t:
                        X                                              (В.15)           X
  [L̂k , L̂l ] = i}           xσ p̂t (δlt δkσ − δlσ δkt ) = i}                                     εlkm εtσm xσ p̂t =
                        σt                                                              σtm
                                                             X             X                                   X
                                                      = i}        εklm            εmσt xσ p̂t = i}                 εklm L̂m .
                                                             m             σt                                  m
                                                                           |         {z             }
                                                                                     L̂m

При выполнении всех вычислений мы регулярно использовали пере-
становочные свойства символа Леви–Чивита. Выпишем теперь оконча-
тельный результат:

                                                                  X
                                              [L̂k , L̂l ] = i}           εklm L̂m .                                    (2.29)
                                                                   m

Тождество (2.29) состоит из трех тривиальных соотношений:

          [L̂x , L̂y ] = i}L̂z ;                      [L̂y , L̂z ] = i}L̂x ;                  [L̂z , L̂x ] = i}L̂y .

Их можно было бы получить и без использования символа Леви–
Чивита на основе тривиальных коммутационных соотношений, найден-
ных в предыдущих примерах.                                    
                                                                                              2
Пример 2.16. Вычислить коммутатор [L̂k , L̂ ].
                                              2
Решение. Представим L̂ в декартовом базисе:
          2                X                  (2.8)   X                        (2.13)
  [L̂k , L̂ ] = [L̂k ,               L̂2l ] =              [L̂k , L̂l L̂l ] =
                                l                      l
          X                                                      (2.29)        X
      =         {[L̂k , L̂l ]L̂l + L̂l [L̂k , L̂l ]} = i}                            εklm (L̂m L̂l + L̂l L̂m ) =
           l                                                                    lm

Страницы