Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
= i}
X
l m
ε
klm
ˆ
L
m
ˆ
L
l
+ i}
X
l m
ε
klm
ˆ
L
l
ˆ
L
m
.
В последней сумме переобозначим бегущие индексы l m и восполь-
зуемся перестановочным свойством ε-символа:
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
2
] = i}
X
l m
(ε
klm
+ ε
kml
)
ˆ
L
m
ˆ
L
l
= i}
X
l m
(ε
klm
− ε
klm
)
ˆ
L
m
ˆ
L
l
= 0.
Таким образом, квадрат орбитального момента коммутирует с лю-
бой его проекцией:
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
2
] = 0. (2.30)
Тождества (2.29) и (2.30) очень важны в теории углового момента.
Если во всех полученных в данном разделе коммутаторах сделать
предельный переход } → 0, то все коммутаторы обратятся в нуль. Такой
результат не противоречит классической механике.
Задачи для самостоятельного решения
12. Раскрыть скобки:
x
x
0
−
ˆp
x
p
0
x
x
0
+
ˆp
x
p
0
;
x
x
0
+
ˆp
x
p
0
2
;
x
x
0
+
ˆp
x
p
0
3
.
Здесь x
0
, p
0
— константы с размерностью координаты и импульса со-
ответственно.
13. Вычислить коммутаторы: [r, (r
ˆ
p)]; [
ˆ
p, r
2
]; [r
2
, (r
ˆ
p)]; [
ˆ
p
2
, (r
ˆ
p)];
[r
2
,
ˆ
H]; [
ˆ
p
2
,
ˆ
H]; [(r
ˆ
p),
ˆ
H].
14. Доказать тождество:
[A(r),
ˆ
p] = i} divA(r),
где A(r) — дифференцируемая векторная функция координат.
15. Доказать, что [
ˆ
p × r] = −
ˆ
L.
16. Доказать соотношения (2.29) без использования символа Леви–
Чивита.
17. Записать операторы
ˆ
L
z
и
ˆ
L
2
в сферических координатах.
                                                 27

                                                       X                         X
                                                = i}        εklm L̂m L̂l + i}          εklm L̂l L̂m .
                                                       lm                         lm

В последней сумме переобозначим бегущие индексы l  m и восполь-
зуемся перестановочным свойством ε-символа:
            2       X                            X
   [L̂k , L̂ ] = i}   (εklm + εkml )L̂m L̂l = i}   (εklm − εklm )L̂m L̂l = 0.
                  lm                                         lm

Таким образом, квадрат орбитального момента коммутирует с лю-
бой его проекцией:
                                                  2
                                        [L̂k , L̂ ] = 0.                                          (2.30)

Тождества (2.29) и (2.30) очень важны в теории углового момента. 
   Если во всех полученных в данном разделе коммутаторах сделать
предельный переход } → 0, то все коммутаторы обратятся в нуль. Такой
результат не противоречит классической механике.

Задачи для самостоятельного решения

12. Раскрыть скобки:
                                                            2                     3
             x    p̂x        x    p̂x                 x    p̂x                x    p̂x
                −               +           ;            +            ;          +            .
             x0   p0         x0   p0                  x0   p0                 x0   p0

Здесь x0 , p0 — константы с размерностью координаты и импульса со-
ответственно.
13. Вычислить коммутаторы: [r, (r p̂)]; [p̂, r 2 ]; [r 2 , (rp̂)]; [p̂2 , (rp̂)];
[r 2 , Ĥ]; [p̂2 , Ĥ]; [(rp̂), Ĥ].
14. Доказать тождество:

                                [A(r), p̂] = i} divA(r),

где A(r) — дифференцируемая векторная функция координат.
15. Доказать, что [p̂ × r] = −L̂.
16. Доказать соотношения (2.29) без использования символа Леви–
Чивита.
                                            2
17. Записать операторы L̂z и L̂ в сферических координатах.

Страницы