ВУЗ:
Составители:
27
= i}
X
l m
ε
klm
ˆ
L
m
ˆ
L
l
+ i}
X
l m
ε
klm
ˆ
L
l
ˆ
L
m
.
В последней сумме переобозначим бегущие индексы l m и восполь-
зуемся перестановочным свойством ε-символа:
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
2
] = i}
X
l m
(ε
klm
+ ε
kml
)
ˆ
L
m
ˆ
L
l
= i}
X
l m
(ε
klm
− ε
klm
)
ˆ
L
m
ˆ
L
l
= 0.
Таким образом, квадрат орбитального момента коммутирует с лю-
бой его проекцией:
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
2
] = 0. (2.30)
Тождества (2.29) и (2.30) очень важны в теории углового момента.
Если во всех полученных в данном разделе коммутаторах сделать
предельный переход } → 0, то все коммутаторы обратятся в нуль. Такой
результат не противоречит классической механике.
Задачи для самостоятельного решения
12. Раскрыть скобки:
x
x
0
−
ˆp
x
p
0
x
x
0
+
ˆp
x
p
0
;
x
x
0
+
ˆp
x
p
0
2
;
x
x
0
+
ˆp
x
p
0
3
.
Здесь x
0
, p
0
— константы с размерностью координаты и импульса со-
ответственно.
13. Вычислить коммутаторы: [r, (r
ˆ
p)]; [
ˆ
p, r
2
]; [r
2
, (r
ˆ
p)]; [
ˆ
p
2
, (r
ˆ
p)];
[r
2
,
ˆ
H]; [
ˆ
p
2
,
ˆ
H]; [(r
ˆ
p),
ˆ
H].
14. Доказать тождество:
[A(r),
ˆ
p] = i} divA(r),
где A(r) — дифференцируемая векторная функция координат.
15. Доказать, что [
ˆ
p × r] = −
ˆ
L.
16. Доказать соотношения (2.29) без использования символа Леви–
Чивита.
17. Записать операторы
ˆ
L
z
и
ˆ
L
2
в сферических координатах.
27 X X = i} εklm L̂m L̂l + i} εklm L̂l L̂m . lm lm В последней сумме переобозначим бегущие индексы l m и восполь- зуемся перестановочным свойством ε-символа: 2 X X [L̂k , L̂ ] = i} (εklm + εkml )L̂m L̂l = i} (εklm − εklm )L̂m L̂l = 0. lm lm Таким образом, квадрат орбитального момента коммутирует с лю- бой его проекцией: 2 [L̂k , L̂ ] = 0. (2.30) Тождества (2.29) и (2.30) очень важны в теории углового момента. Если во всех полученных в данном разделе коммутаторах сделать предельный переход } → 0, то все коммутаторы обратятся в нуль. Такой результат не противоречит классической механике. Задачи для самостоятельного решения 12. Раскрыть скобки: 2 3 x p̂x x p̂x x p̂x x p̂x − + ; + ; + . x0 p0 x0 p0 x0 p0 x0 p0 Здесь x0 , p0 — константы с размерностью координаты и импульса со- ответственно. 13. Вычислить коммутаторы: [r, (r p̂)]; [p̂, r 2 ]; [r 2 , (rp̂)]; [p̂2 , (rp̂)]; [r 2 , Ĥ]; [p̂2 , Ĥ]; [(rp̂), Ĥ]. 14. Доказать тождество: [A(r), p̂] = i} divA(r), где A(r) — дифференцируемая векторная функция координат. 15. Доказать, что [p̂ × r] = −L̂. 16. Доказать соотношения (2.29) без использования символа Леви– Чивита. 2 17. Записать операторы L̂z и L̂ в сферических координатах.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »