Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
(Ответ:
ˆ
L
z
= −i}
∂
∂ϕ
; (2.31)
ˆ
L
2
= −}
2
∇
2
θϕ
= −}
2
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂ϕ
2
.) (2.32)
18. Вычислить коммутаторы: [
ˆ
L, r
2
]; [
ˆ
L,
ˆ
p
2
]; [
ˆ
L, (r
ˆ
p)];.
19. Доказать тождества:
[f(r),
ˆ
L] = i} [r ×gradf(r)];
[A(r),
ˆ
L] = i} r rotA(r);
[g(r),
ˆ
L
2
] = 0,
где f(r), g(r), A(r) — дифференцируемые функции координат.
2.4. Эрмитово сопряжение операторов
Оператор
ˆ
F
†
называется эрмитово сопряженным по отношению к
ˆ
F , если для произвольных функций Φ(ξ) и Ψ(ξ) выполняется равенство:
Z
Φ
∗
(ξ)
ˆ
F
†
Ψ(ξ) dξ
def
=
Z
Ψ(ξ)
ˆ
F
∗
Φ
∗
(ξ) dξ. (2.33)
Интегралы в (2.33) удобно записывать в дираковских обозначениях :
hΨ|
ˆ
F
†
|Φi
def
= hΦ|
ˆ
F |Ψi
∗
. (2.34)
Конструкция hΦ|
ˆ
F |Ψi называется матричным элементом оператора
ˆ
F между состояниями |Ψi и |Φi. “Обкладки” являются аналогом мат-
ричных индексов. Определение (2.34) соответствует определению эр-
митово сопряженной матрицы.
Если действие оператора на функцию сводится к ее умножению на
некоторую функцию c(ξ):
ˆ
F Ψ(ξ) = c(ξ)Ψ(ξ), то, как легко видеть из
определений,
c
†
(ξ) = c
∗
(ξ). (2.35)
Пример 2.17. Найти
∂
∂x
†
.
                                                28


(Ответ:

                  ∂
     L̂z = −i}      ;                                                           (2.31)
                 ∂ϕ
                                                                     
       2                                1 ∂           ∂        1     ∂2
     L̂ = −}2 ∇2θϕ = −}2                        sin θ      +              .)    (2.32)
                                      sin θ ∂θ        ∂θ     sin2 θ ∂ϕ2

18. Вычислить коммутаторы: [L̂, r 2 ]; [L̂, p̂2 ]; [L̂, (rp̂)];.
19. Доказать тождества:

                             [f (r), L̂] = i} [r × gradf (r)];
                             [A(r), L̂] = i} r rotA(r);
                                        2
                             [g(r), L̂ ] = 0,

где f (r), g(r), A(r) — дифференцируемые функции координат.

2.4.       Эрмитово сопряжение операторов
     Оператор F̂ † называется эрмитово сопряженным по отношению к
F̂ , если для произвольных функций Φ(ξ) и Ψ(ξ) выполняется равенство:
                  Z                                   Z
                         ∗        †             def
                        Φ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξ =                 Ψ(ξ)F̂ ∗ Φ∗ (ξ) dξ.   (2.33)


Интегралы в (2.33) удобно записывать в дираковских обозначениях :
                                                def              ∗
                               hΨ| F̂ † |Φi = hΦ| F̂ |Ψi .                      (2.34)

Конструкция hΦ| F̂ |Ψi называется матричным элементом оператора
F̂ между состояниями |Ψi и |Φi. “Обкладки” являются аналогом мат-
ричных индексов. Определение (2.34) соответствует определению эр-
митово сопряженной матрицы.
    Если действие оператора на функцию сводится к ее умножению на
некоторую функцию c(ξ): F̂ Ψ(ξ) = c(ξ)Ψ(ξ), то, как легко видеть из
определений,
                            c† (ξ) = c∗ (ξ).                  (2.35)
                                      †
                                  ∂
Пример 2.17. Найти                          .
                                  ∂x

Страницы