Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

30
hΦ|(
ˆ
F
ˆ
G)
†
|Ψi
(2.34)
= hΨ|(
ˆ
F
ˆ
G) |Φi
∗
= hΨ|
ˆ
F |
ˆ
GΦi
∗
(2.34)
= h
ˆ
GΦ |
ˆ
F
†
|Ψi =
= h
ˆ
GΦ |
ˆ
F
†
Ψi
(2.34)
= h
ˆ
F
†
Ψ |
ˆ
GΦi
∗
= h
ˆ
F
†
Ψ|
ˆ
G |Φi
∗
(2.34)
= hΦ|
ˆ
G
†
|
ˆ
F
†
Ψi =
= hΦ|
ˆ
G
†
ˆ
F
†
|Ψi.
Таким образом, мы получаем важное операторное соотношение:
(
ˆ
F
ˆ
G)
†
=
ˆ
G
†
ˆ
F
†
, (2.37)
т.е. эрмитово сопряжение произведения операторов изменяет поря-
док следования сомножителей на противоположный. Ситуация пол-
ностью аналогична обращению произведения операторов (2.12).
Оператор называется самосопряженным, или эрмитовым, если он
совпадает со своим эрмитовым сопряжением:
ˆ
F
†
def
=
ˆ
F . (2.38)
Дадим определение эрмитова оператора в интегральной форме на ос-
нове (2.33), (2.38):
Z
Φ
∗
(ξ)
ˆ
F Ψ(ξ) dξ
def
=
Z
Ψ(ξ)
ˆ
F
∗
Φ
∗
(ξ) dξ, (2.39)
а также в дираковских обозначениях (2.34):
hΨ|
ˆ
F |Φi
def
= hΦ|
ˆ
F |Ψi
∗
. (2.40)
Определение (2.40) подчеркивает полную аналогию с эрмитовыми мат-
рицами.
Введем также определение антиэрмитова оператора:
ˆ
F
†
def
= −
ˆ
F .
Пример 2.20. Доказать самосопряженность оператора проекции им-
пульса ˆp
x
.
Решение.
1 способ. Задачу можно решать по полной аналогии с приме-
ром 2..17, т.е., исходя из определения (2.39), получать равенство:
Z
+∞
−∞
Φ
∗
(x) ˆp
x
Ψ(x) dx =
Z
+∞
−∞
Ψ(x) ˆp
∗
x
Φ
∗
(x) dx.
                                      30


                (2.34)                                     (2.34)
  hΦ| (F̂ Ĝ)† |Ψi = hΨ| (F̂ Ĝ) |Φi∗ = hΨ| F̂ | ĜΦi∗ = hĜΦ | F̂ † |Ψi =
                 (2.34)                                    (2.34)
  = hĜΦ | F̂ † Ψi = hF̂ † Ψ | ĜΦi∗ = hF̂ † Ψ| Ĝ |Φi∗ = hΦ| Ĝ† |F̂ † Ψi =
                                                                = hΦ| Ĝ† F̂ † |Ψi .

Таким образом, мы получаем важное операторное соотношение:

                              (F̂ Ĝ)† = Ĝ† F̂ † ,                            (2.37)

т.е. эрмитово сопряжение произведения операторов изменяет поря-
док следования сомножителей на противоположный. Ситуация пол-
ностью аналогична обращению произведения операторов (2.12).  
   Оператор называется самосопряженным, или эрмитовым, если он
совпадает со своим эрмитовым сопряжением:

                                       def
                                  F̂ † = F̂ .                                  (2.38)

Дадим определение эрмитова оператора в интегральной форме на ос-
нове (2.33), (2.38):
                 Z                         Z
                      ∗              def
                     Φ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξ =         Ψ(ξ)F̂ ∗ Φ∗ (ξ) dξ,             (2.39)

а также в дираковских обозначениях (2.34):
                                     def
                          hΨ| F̂ |Φi = hΦ| F̂ |Ψi∗ .                           (2.40)

Определение (2.40) подчеркивает полную аналогию с эрмитовыми мат-
рицами.
   Введем также определение антиэрмитова оператора:
                                     def
                                 F̂ † = −F̂ .

Пример 2.20. Доказать самосопряженность оператора проекции им-
пульса p̂x .
Решение.
   1 способ. Задачу можно решать по полной аналогии с приме-
ром 2..17, т.е., исходя из определения (2.39), получать равенство:
              Z +∞                      Z +∞
                      ∗
                    Φ (x) p̂x Ψ(x) dx =      Ψ(x) p̂∗x Φ∗ (x) dx.
              −∞                               −∞

Страницы