Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

31
Мы рекомендуем выполнить все выкладки самостоятельно.
2 способ. Воспользуемся явным видом оператора проекции импульса
(2.15), а также уже доказанными свойствами (2.35)–(2.37) и определе-
нием в форме (2.38):
ˆp
†
x
(2.15)
=
−i}
∂
∂x
†
(2.37)
=
∂
∂x
†
(−i})
†
= −i}
∂
∂x
(2.15)
= ˆp
x
.
Мы доказали самосопряженность оператора проекции импульса.
Самосопряженность оператора координаты практически очевидна
(обоснуйте!).
Пример 2.21. Доказать самосопряженность оператора орбитально-
го момента.
Решение.
1 способ. Докажем самосопряженность проекции орбитального мо-
мента на произвольное направление. Ориентируем ось Oz сферической
системы координат вдоль этого направления. В такой системе коорди-
нат вид оператора
ˆ
L
z
будет наиболее простым (2.31). Будем опираться
на определение в форме (2.39):
Z
2π
0
Φ
∗
(ϕ)
ˆ
L
z
Ψ(ϕ) dϕ
(2.31)
= −i}
Z
2π
0
Φ
∗
(ϕ)
∂Ψ(ϕ)
∂ϕ
dϕ =
= −i}
"
Φ
∗
(ϕ)Ψ(ϕ)
2π
0
−
Z
2π
0
Ψ(ϕ)
∂Φ
∗
(ϕ)
∂ϕ
dϕ
#
.
В примере 1..4 было показано, что волновая функция, зависящая от
полярного угла, для выполнения условия однозначности должна быть
2π-периодичной. Поэтому разность на пределах обращается в нуль. Из
этого следует самосопряженность
ˆ
L
z
:
Z
2π
0
Φ
∗
(ϕ)
ˆ
L
z
Ψ(ϕ) dϕ =
Z
2π
0
Ψ(ϕ)
ˆ
L
∗
z
Φ
∗
(ϕ) dϕ.
2 способ. Воспользуемся видом
ˆ
L в декартовых координатах (2.23),
принимая во внимание правило (2.37), самосопряженность координаты
и импульса, а также результат задачи 15:
ˆ
L
†
= [r ×
ˆ
p]
†
= −[
ˆ
p × r] =
ˆ
L.
Самосопряженность оператора орбитального момента доказана (объяс-
ните появление знака “минус”). 
                                     31


Мы рекомендуем выполнить все выкладки самостоятельно.
    2 способ. Воспользуемся явным видом оператора проекции импульса
(2.15), а также уже доказанными свойствами (2.35)–(2.37) и определе-
нием в форме (2.38):
                           †         †
           † (2.15)      ∂     (2.37)  ∂                ∂ (2.15)
         p̂x =       −i}         =         (−i})† = −i}     = p̂x .
                         ∂x            ∂x               ∂x
Мы доказали самосопряженность оператора проекции импульса.          
   Самосопряженность оператора координаты практически очевидна
(обоснуйте!).
Пример 2.21. Доказать самосопряженность оператора орбитально-
го момента.
Решение.
   1 способ. Докажем самосопряженность проекции орбитального мо-
мента на произвольное направление. Ориентируем ось Oz сферической
системы координат вдоль этого направления. В такой системе коорди-
нат вид оператора L̂z будет наиболее простым (2.31). Будем опираться
на определение в форме (2.39):
  Z    2π                        Z   2π
            ∗         (2.31)             ∂Ψ(ϕ)
        Φ (ϕ)L̂z Ψ(ϕ) dϕ = −i}            Φ∗ (ϕ)
                                               dϕ =
   0                           0          ∂ϕ
                           "                                   #
                                       2π   Z 2π         ∗
                                                      ∂Φ (ϕ)
                      = −i} Φ∗ (ϕ)Ψ(ϕ)    −      Ψ(ϕ)        dϕ .
                                       0     0          ∂ϕ

В примере 1..4 было показано, что волновая функция, зависящая от
полярного угла, для выполнения условия однозначности должна быть
2π-периодичной. Поэтому разность на пределах обращается в нуль. Из
этого следует самосопряженность L̂z :
              Z 2π                   Z 2π
                   ∗
                  Φ (ϕ)L̂z Ψ(ϕ) dϕ =     Ψ(ϕ)L̂∗z Φ∗ (ϕ) dϕ.
                0                          0

   2 способ. Воспользуемся видом L̂ в декартовых координатах (2.23),
принимая во внимание правило (2.37), самосопряженность координаты
и импульса, а также результат задачи 15:
                      †
                    L̂ = [r × p̂]† = −[p̂ × r] = L̂.
Самосопряженность оператора орбитального момента доказана (объяс-
ните появление знака “минус”).                                 

Страницы