Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

32
Пример 2.22. Доказать самосопряженность оператора инверсии.
Решение. Построим два интеграла и преобразуем их на основании опре-
деления оператора инверсии (таблица 2.1):
Z
Φ
∗
(r)
ˆ
IΨ(r) d
3
r =
Z
Φ
∗
(r)Ψ(−r) d
3
r;
Z
Ψ(r)[
ˆ
IΦ(r)]
∗
d
3
r =
Z
Ψ(r)Φ
∗
(−r) d
3
r = (r → r) =
Z
Φ
∗
(r)Ψ(−r) d
3
r.
Равенство этих интегралов позволяет на основании (2.33) сделать вы-
вод о самосопряженности оператора инверсии.
Легко установить самосопряженность суммы эрмитовых операторов
ˆ
F и
ˆ
G. С их произведением, однако может возникнуть проблема: дело
в том, что в соответствии с правилом(2.37),
[
ˆ
F
ˆ
G]
†
=
ˆ
G
†
ˆ
F
†
=
ˆ
G
ˆ
F 6=
ˆ
F
ˆ
G.
Таким образом, произведение эрмитовых оператором будет эрмито-
вым только в случае их коммутации.
Из произведений двух эрмитовых операторов можно, тем не менее,
построить следующие эрмитовы комбинации: i[
ˆ
F ,
ˆ
G] и {
ˆ
F ,
ˆ
G} (убедить-
ся в их самосопряженности самостоятельно!).
Оператор
ˆ
U называется унитарным, если его эрмитово сопряжение
совпадает с обратным оператором:
ˆ
U
−1
def
=
ˆ
U
†
. (2.41)
Пример 2.23. Оператор сдвига определяется следующим образом:
ˆ
T
a
Ψ(x)
def
= Ψ(x − a), (2.42)
где Ψ(x) — произвольная волновая функция. Найти аналитический
вид этого оператора и показать его унитарность.
Решение. Разложим правую часть (2.42) в ряд Тейлора по степеням
параметра сдвига a, предполагая
∂
0
Ψ(x)
∂x
0
≡ Ψ(x):
Ψ(x − a) =
∞
X
n=0
(−1)
n
a
n
n!
∂
n
Ψ(x)
∂x
n
=
∞
X
n=0
1
n!
−a
∂
∂x
n
Ψ(x)
(2.15)
=
                                       32


Пример 2.22. Доказать самосопряженность оператора инверсии.
Решение. Построим два интеграла и преобразуем их на основании опре-
деления оператора инверсии (таблица 2.1):
 Z                    Z
     ∗    ˆ
    Φ (r)IΨ(r)   d r = Φ∗ (r)Ψ(−r) d3 r;
                  3

Z                     Z                          Z
        ˆ
   Ψ(r)[IΦ(r)] ∗
                 d r = Ψ(r)Φ (−r) d r = (r → r) = Φ∗ (r)Ψ(−r) d3 r.
                  3          ∗      3



Равенство этих интегралов позволяет на основании (2.33) сделать вы-
вод о самосопряженности оператора инверсии.                      
    Легко установить самосопряженность суммы эрмитовых операторов
F̂ и Ĝ. С их произведением, однако может возникнуть проблема: дело
в том, что в соответствии с правилом(2.37),

                      [F̂ Ĝ]† = Ĝ† F̂ † = ĜF̂ 6= F̂ Ĝ.

Таким образом, произведение эрмитовых оператором будет эрмито-
вым только в случае их коммутации.
   Из произведений двух эрмитовых операторов можно, тем не менее,
построить следующие эрмитовы комбинации: i[F̂ , Ĝ] и {F̂ , Ĝ} (убедить-
ся в их самосопряженности самостоятельно!).
   Оператор Û называется унитарным, если его эрмитово сопряжение
совпадает с обратным оператором:

                                       def
                                  Û −1 = Û † .                   (2.41)

Пример 2.23. Оператор сдвига определяется следующим образом:

                                      def
                              T̂a Ψ(x) = Ψ(x − a),                 (2.42)

где Ψ(x) — произвольная волновая функция. Найти аналитический
вид этого оператора и показать его унитарность.
Решение. Разложим правую часть (2.42) в ряд Тейлора по степеням
                                ∂ 0 Ψ(x)
параметра сдвига a, предполагая          ≡ Ψ(x):
                                  ∂x0
              ∞           n        ∞            n
              X
                     na ∂ n Ψ(x) X 1          ∂         (2.15)
  Ψ(x − a) =     (−1)        n
                                =          −a       Ψ(x) =
             n=0
                      n! ∂x       n=0
                                      n!      ∂x

Страницы