Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

33
=
"
∞
X
n=0
1
n!
−
i
}
aˆp
x
n
#
Ψ(x).
Если вспомнить разложение экспоненты в ряд Тейлора, то в соответ-
ствии с определением 9
◦
для оператора под знаком функции сумму
в квадратных скобках можно представить в виде exp
−
i
}
aˆp
x
. Если
теперь воспользуемся определением операторного равенства 1
◦
, то по-
лучим окончательный ответ:
ˆ
T
a
= exp
−
i
}
aˆp
x
. (2.43)
Сопоставление (2.43) с (2.41) позволяет сделать вывод об унитарности
оператора сдвига.
Задачи для самостоятельного решения
20. Доказать самосопряженность операторов физических величин из
таблицы 2.1.
21. Операторы
ˆ
F и
ˆ
G эрмитовы. Доказать самосопряженность i[
ˆ
F ,
ˆ
G]
и {
ˆ
F ,
ˆ
G}.
22. Доказать самосопряженность операторов
ˆ
A =
ˆ
F
†
ˆ
F и
ˆ
B =
ˆ
F
ˆ
F
†
.
23. Доказать, что произвольный оператор можно однозначно предста-
вить в виде суммы эрмитова и антиэрмитова операторов.
(Указание. Провести аналогию со случаем, когда произвольная функ-
ция представляется в виде суммы четной и нечетной функций).
24. Получить аналитический вид оператора 3-мерного сдвига:
ˆ
T
a
Ψ(r)
def
= Ψ(r − a).
25. Получить аналитический вид оператора поворота на угол ϕ
0
вокруг
оси, задаваемой единичным вектором n.
(Ответ:
ˆ
R
n
(ϕ
0
) = exp
−
i
}
ϕ
0
n
ˆ
L
.)
26. Показать, что произведение унитарных операторов само является
унитарным оператором.
                                    33

                                              "
                                              ∞             n #
                                             X   1     i
                                           =          − ap̂x      Ψ(x).
                                             n=0
                                                 n!    }

Если вспомнить разложение экспоненты в ряд Тейлора, то в соответ-
ствии с определением 9◦ для оператора под знаком функции
                                                           сумму
                                                      i
в квадратных скобках можно представить в виде exp − ap̂x . Если
                                                      }
теперь воспользуемся определением операторного равенства 1◦ , то по-
лучим окончательный ответ:
                                          
                                      i
                           T̂a = exp − ap̂x .                        (2.43)
                                      }

Сопоставление (2.43) с (2.41) позволяет сделать вывод об унитарности
оператора сдвига.                                                  


Задачи для самостоятельного решения

20. Доказать самосопряженность операторов физических величин из
таблицы 2.1.
21. Операторы F̂ и Ĝ эрмитовы. Доказать самосопряженность i[F̂ , Ĝ]
и {F̂ , Ĝ}.
22. Доказать самосопряженность операторов Â = F̂ † F̂ и B̂ = F̂ F̂ † .
23. Доказать, что произвольный оператор можно однозначно предста-
вить в виде суммы эрмитова и антиэрмитова операторов.
(Указание. Провести аналогию со случаем, когда произвольная функ-
ция представляется в виде суммы четной и нечетной функций).
24. Получить аналитический вид оператора 3-мерного сдвига:
         def
T̂a Ψ(r) = Ψ(r − a).
25. Получить аналитический вид оператора поворота на угол ϕ0 вокруг
оси, задаваемой единичным
                          вектором
                                   n.
                         i
(Ответ: R̂n (ϕ0 ) = exp − ϕ0 nL̂ .)
                         }
26. Показать, что произведение унитарных операторов само является
унитарным оператором.

Страницы