Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

35
Пример 3.1. Показать, что необходимым и достаточным условием
вещественности среднего значения величины F является самосопря-
женность ее оператора
ˆ
F .
Решение. Докажем вещественность среднего значения F , предполагая
ˆ
F самосопряженным:
hF i
∗
(3.1)
=
Z
Ψ(ξ)
ˆ
F
∗
Ψ
∗
(ξ) dξ
(2.39)
=
Z
Ψ
∗
(ξ)
ˆ
F Ψ(ξ) dξ
(3.1)
= hF i.
Доказать обратное утверждение несложно.
Таким образом, для вещественности среднего значения физической
величины оператор этой физической величины должен быть самосо-
пряженным. Помимо линейности, это второе требование, предъявляе-
мое к оператору физической величины.
Формулу среднего значения F в состоянии с волновой функцией
Ψ(ξ) можно также представить в дираковских обозначениях:
hF i = hΨ|
ˆ
F |Ψi. (3.2)
Пример 3.2. Показать, что среднее значение квадрата физической
величины F неотрицательно.
Решение. В соответствии со сказанным выше оператор
ˆ
F должен
быть самосопряженным. Поэтому
ˆ
F
2
тоже будет самосопряженным [см.
(2.37)], а hF
2
i — вещественным. Дальнейшее доказательство удобно
проводить в дираковских обозначениях, предполагая
ˆ
F =
ˆ
F
†
:
hF
2
i
(3.2)
= hΨ|
ˆ
F
2
|Ψi = hΨ|
ˆ
F |
ˆ
F Ψi
(2.40)
= h
ˆ
F Ψ |
ˆ
F Ψi =
Z
|
ˆ
F Ψ(ξ)|
2
dξ.
Последний интеграл будет величиной неотрицательной, что и доказы-
вает наше утверждение.
Следует предостеречь читателя от возможной путаницы между hF
2
i
и hF i
2
. И вообще? hf(F )i 6= f(hF i) только за исключением случая ли-
нейной функции f(z).
Описанный выше способ измерения физической величины F дает
с математической точки зрения последовательность случайных чисел.
Характеристикой их разброса относительно среднего значения служит
среднеквадратичное отклонение:
h(∆F )
2
i
def
= h(F − hF i)
2
i. (3.3)
                                       35


Пример 3.1. Показать, что необходимым и достаточным условием
вещественности среднего значения величины F является самосопря-
женность ее оператора F̂ .
Решение. Докажем вещественность среднего значения F , предполагая
F̂ самосопряженным:
                  Z                       Z
          ∗ (3.1)         ∗ ∗      (2.39)                   (3.1)
      hF i =        Ψ(ξ)F̂ Ψ (ξ) dξ =       Ψ∗ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξ = hF i.

Доказать обратное утверждение несложно.                                
   Таким образом, для вещественности среднего значения физической
величины оператор этой физической величины должен быть самосо-
пряженным. Помимо линейности, это второе требование, предъявляе-
мое к оператору физической величины.
   Формулу среднего значения F в состоянии с волновой функцией
Ψ(ξ) можно также представить в дираковских обозначениях:

                            hF i = hΨ| F̂ |Ψi .                     (3.2)

Пример 3.2. Показать, что среднее значение квадрата физической
величины F неотрицательно.
Решение. В соответствии со сказанным выше оператор F̂ должен
быть самосопряженным. Поэтому F̂ 2 тоже будет самосопряженным [см.
(2.37)], а hF 2 i — вещественным. Дальнейшее доказательство удобно
проводить в дираковских обозначениях, предполагая F̂ = F̂ † :
                                                       Z
     2 (3.2)       2                (2.40)
  hF i = hΨ| F̂ |Ψi = hΨ| F̂ | F̂ Ψi = hF̂ Ψ | F̂ Ψi =   |F̂ Ψ(ξ)|2 dξ.

Последний интеграл будет величиной неотрицательной, что и доказы-
вает наше утверждение.                                         
   Следует предостеречь читателя от возможной путаницы между hF 2 i
и hF i2 . И вообще? hf (F )i 6= f (hF i) только за исключением случая ли-
нейной функции f (z).
   Описанный выше способ измерения физической величины F дает
с математической точки зрения последовательность случайных чисел.
Характеристикой их разброса относительно среднего значения служит
среднеквадратичное отклонение:

                                 def
                        h(∆F )2 i = h(F − hF i)2 i.                 (3.3)

Страницы