Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

36
Более удобной формулой для вычисления h(∆F )
2
i по сравнению с (3.3)
является
h(∆F )
2
i = hF
2
i − hF i
2
. (3.4)
Пример 3.3. Для волнового пакета из примера 1..3 вычислить hxi,
h(∆x)
2
i; hp
x
i, h(∆p
x
)
2
i.
Решение. Нормировочная константа вычислена в примере 1..3, так что
нормированная волновая функция имеет вид
Ψ(x) =
1
p
x
0
√
π
exp
−
x
2
2x
2
0
+ ik
0
x
, (3.5)
а средние значения вычисляются по формуле (3.1).
Для координаты
hxi =
1
x
0
√
π
Z
+∞
−∞
x exp
−
x
2
x
2
0
dx = 0
вследствие нечетности подынтегральной функции. Обратите внимание
на исчезновение множителя e
ik
0
x
при возведении его модуля в квадрат!
Для среднеквадратичного отклонения координаты
h(∆x)
2
i
(3.4)
= hx
2
i − hxi
2
= hx
2
i =
1
x
0
√
π
Z
+∞
−∞
x
2
exp
−
x
2
x
2
0
dx =
= (x = x
0
ξ) =
x
2
0
√
π
Z
+∞
−∞
ξ
2
e
−ξ
2
dξ
(А.3)
=
x
2
0
2
.
Оператор импульса — дифференциальный. Поэтому
hp
x
i =
Z
+∞
−∞
Ψ
∗
(x)ˆp
x
Ψ(x) dx = −i}
Z
+∞
−∞
Ψ
∗
(x)
∂Ψ(x)
∂x
dx =
= −
i}
x
0
√
π
Z
+∞
−∞
−
x
x
2
0
+ ik
0
exp
−
x
2
x
2
0
dx = }k
0
;
hp
2
x
i =
Z
+∞
−∞
Ψ
∗
(x)ˆp
2
x
Ψ(x) dx = −}
2
Z
+∞
−∞
Ψ
∗
(x)
∂
2
Ψ(x)
∂x
2
dx =
= −}
2
Ψ
∗
(x)
∂Ψ(x)
∂x
+∞
−∞
| {z }
0
+}
2
Z
+∞
−∞
∂Ψ(x)
∂x
2
dx =
                                                         36


Более удобной формулой для вычисления h(∆F )2 i по сравнению с (3.3)
является
                     h(∆F )2 i = hF 2 i − hF i2 .              (3.4)

Пример 3.3. Для волнового пакета из примера 1..3 вычислить hxi,
h(∆x)2 i; hpx i, h(∆px )2 i.
Решение. Нормировочная константа вычислена в примере 1..3, так что
нормированная волновая функция имеет вид
                                             
                         1           x2
                Ψ(x) = p √ exp − 2 + ik0 x ,                  (3.5)
                        x0 π        2x0

а средние значения вычисляются по формуле (3.1).
   Для координаты
                          Z +∞        2
                       1               x
                hxi = √         x exp − 2 dx = 0
                     x0 π −∞           x0
вследствие нечетности подынтегральной функции. Обратите внимание
на исчезновение множителя eik0 x при возведении его модуля в квадрат!
Для среднеквадратичного отклонения координаты
                                                                          Z   +∞           
           2       (3.4)       2 1        2         2                         x2    2
  h(∆x) i = hx i − hxi = hx i = √                                     x exp − 2 dx =
                               x0 π                              −∞           x0
                                                                     Z +∞
                                                                 x20       2 −ξ 2
                                                                                           2
                                                                                    (А.3) x0
                                                  = (x = x0 ξ) = √        ξ e dξ =           .
                                                                   π −∞                   2
   Оператор импульса — дифференциальный. Поэтому
               Z    +∞                                           Z   +∞
                               ∗                             ∂Ψ(x)
  hpx i =                  Ψ (x)p̂x Ψ(x) dx = −i}                  dx =       Ψ∗ (x)
               −∞                                  −∞         ∂x
                                            Z +∞               2
                                         i}         x              x
                                     =− √         − 2 + ik0 exp − 2 dx = }k0 ;
                                       x0 π −∞      x0             x0

               Z    +∞                                           Z       +∞
                                                                                        ∂ 2 Ψ(x)
  hp2x i   =               Ψ   ∗
                                   (x)p̂2x Ψ(x) dx   = −}    2
                                                                              Ψ∗ (x)             dx =
               −∞                                                    −∞                    ∂x2
                                                        +∞               Z   +∞             2
                                  ∂Ψ(x)                                            ∂Ψ(x)
                     = −}2 Ψ∗ (x)                            +}      2
                                                                                                dx =
                                    ∂x                  −∞                −∞        ∂x
                           |       {z                    }
                                              0

Страницы