Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

38
Пример 3.4. Показать, что функция Ψ(x) = e
−x
2
/2
является соб-
ственной функцией оператора
ˆ
F =
d
2
dx
2
−x
2
и найти соответствую-
щее собственное значение.
Решение. Необходимо лишь показать, что действие оператора
ˆ
F на
функцию Ψ(x) приводит к умножению последней на некоторую кон-
станту. Ее значение при этом будет получено автоматически:
ˆ
F Ψ(x) =
d
2
dx
2
− x
2
e
−x
2
/2
=
d
2
dx
2
e
−x
2
/2
− x
2
e
−x
2
/2
=
= −e
−x
2
/2
= −1
|{z}
F
Ψ(x).
Итак, данное в условии утверждение доказано; найдено собственное
значение F = −1.
Собственные значения и собственные функции линейных эрмито-
вых операторов обладают рядом специфических свойств. Перечислим
их:
1) собственные значения вещественны;
2) собственные функции, соответствующие различным собственным
значениям, взаимно ортогональны
3
;
3) система собственных функций полна в классе тех функций, на
которых этот оператор задается, т.е. она образует базис оператора.
Математические выражения важнейших свойств собраны в таблице
3.1 применительно к операторам с дискретным и непрерывным спек-
тром.
Пример 3..4 не характерен для задачи собственных функций и соб-
ственных значений оператора
ˆ
F . Обычно неизвестными бывают как
собственные значения F , так и собственные функции Ψ
F
(ξ).
Пример 3.5. Найти наблюдаемые значения L
z
и соответствующие
им волновые функции.
Решение. В уравнении для собственных функций и собственных значе-
ний
ˆ
L
z
Ψ = L
z
Ψ
Неизвестными являются как L
z
, так и Ψ. Это уравнение удобно пере-
писать в сферической системе координат, где вид
ˆ
L
z
будет наиболее
3
Собственные функции, соответствующие одному и тому же вырожденному соб-
ственному значению, не обязаны быть ортогональными; из них, однако, можно по-
строить ортогональные линейные комбинации (процедура Грама–Шмидта).
                                         38

                                                             2
Пример 3.4. Показать, что функция Ψ(x) = e−x /2 является соб-
                                  d2
ственной функцией оператора F̂ =    2
                                      − x2 и найти соответствую-
                                 dx
щее собственное значение.
Решение. Необходимо лишь показать, что действие оператора F̂ на
функцию Ψ(x) приводит к умножению последней на некоторую кон-
станту. Ее значение при этом будет получено автоматически:
                           
                   d2     2    −x2 /2    d2 −x2 /2     2 −x2 /2
  F̂ Ψ(x) =           − x    e        =     e      − x  e       =
                  dx2                   dx2
                                                               2
                                                      = −e−x       /2
                                                                        = −1 Ψ(x).
                                                                          |{z}
                                                                           F

Итак, данное в условии утверждение доказано; найдено собственное
значение F = −1.                                              
    Собственные значения и собственные функции линейных эрмито-
вых операторов обладают рядом специфических свойств. Перечислим
их:
    1) собственные значения вещественны;
    2) собственные функции, соответствующие различным собственным
значениям, взаимно ортогональны3 ;
    3) система собственных функций полна в классе тех функций, на
которых этот оператор задается, т.е. она образует базис оператора.
    Математические выражения важнейших свойств собраны в таблице
3.1 применительно к операторам с дискретным и непрерывным спек-
тром.
    Пример 3..4 не характерен для задачи собственных функций и соб-
ственных значений оператора F̂ . Обычно неизвестными бывают как
собственные значения F , так и собственные функции ΨF (ξ).
Пример 3.5. Найти наблюдаемые значения Lz и соответствующие
им волновые функции.
Решение. В уравнении для собственных функций и собственных значе-
ний
                           L̂z Ψ = Lz Ψ
Неизвестными являются как Lz , так и Ψ. Это уравнение удобно пере-
писать в сферической системе координат, где вид L̂z будет наиболее
  3 Собственные функции, соответствующие одному и тому же вырожденному соб-
ственному значению, не обязаны быть ортогональными; из них, однако, можно по-
строить ортогональные линейные комбинации (процедура Грама–Шмидта).

Страницы