Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

40
Таблица 3.1. Свойства собственных значений и собственных функций линей-
ного эрмитова оператора
Свойство Дискретный спектр Непрерывный сректр
уравнение
ˆ
F Ψ
n
(ξ) = F
n
Ψ
n
(ξ)
ˆ
F Ψ
F
(ξ) = F Ψ
F
(ξ)
ортонорм.
R
Ψ
∗
n
0
(ξ)Ψ
n
(ξ) dξ = δ
n
0
n
R
Ψ
∗
F
0
(ξ)Ψ
F
(ξ) dξ = δ(F
0
− F )
полнота
P
n
Ψ
∗
n
(ξ)Ψ
n
(ξ
0
) = δ(ξ
0
− ξ)
R
Ψ
∗
F
(ξ)Ψ
F
(ξ
0
) dF = δ(ξ
0
− ξ)
разлож. Φ(ξ) =
P
n
c
n
Ψ
n
(ξ) Φ(ξ) =
R
c(F )Ψ
F
(ξ) dF
по c
n
=
R
Ψ
∗
n
(ξ)Φ(ξ) dξ c(F ) =
R
Ψ
∗
F
(ξ)Φ(ξ) dξ
базису
P
n
|c
n
|
2
= 1
R
|c(F )|
2
dF = 1
Подобно (3.7) уравнение (3.11) является линейным однородным
дифференциальным уравнением первого порядка. Поэтому его реше-
ние также ищется в виде
Ψ(x) = A e
iλx
(3.12)
с неизвестной в общем случае комплексной константой λ.
Выражение (3.12) удовлетворяет условиям однозначности и непре-
рывности функции Ψ(x). Подстановка (3.12) в уравнение (3.11) превра-
щает его в алгебраическое уравнение
p
x
= }λ (3.13)
с двумя неизвестными p
x
и λ. Чтобы определить допустимые значения
λ, представим эту константу в явном комплексном виде:
λ = λ
0
+ iµ
0
,
где λ
0
и µ
0
— вещественные. При таком представлении λ легко заме-
тить, что функция (3.12) будет конечной только при µ
0
= 0, т.е. при
вещественных λ. Поэтому, в соответствии с (3.13), собственным значе-
нием проекции импульса будет произвольное вещественное число, т.е.
у оператора ˆp
x
будет непрерывный спектр.
Вычислим теперь нормировочную константу. В соответствии с
табл. 3.1, собственные функции оператора с непрерывным спектром
должны быть нормированы на δ-функцию:
                                         40



Таблица 3.1. Свойства собственных значений и собственных функций линей-
ного эрмитова оператора
 Свойство          Дискретный спектр                     Непрерывный сректр
 уравнение          F̂ Ψn (ξ) = Fn Ψn (ξ)                  F̂ ΨF (ξ) = F ΨF (ξ)
               R                                   R
 ортонорм.         Ψ∗n0 (ξ)Ψn (ξ) dξ = δn0 n           Ψ∗F 0 (ξ)ΨF (ξ) dξ = δ(F 0 − F )
              P                                    R
  полнота          Ψ∗n (ξ)Ψn (ξ 0 ) = δ(ξ 0 − ξ)       Ψ∗F (ξ)ΨF (ξ 0 ) dF = δ(ξ 0 − ξ)
              n
                              P                                  R
  разлож.           Φ(ξ) =        cn Ψn (ξ)             Φ(ξ) = c(F )ΨF (ξ) dF
                              n
                          R                                       R
     по            cn = Ψ∗n (ξ)Φ(ξ) dξ                  c(F ) = Ψ∗F (ξ)Φ(ξ) dξ
                         P                                   R
   базису                   |cn |2 = 1                         |c(F )|2 dF = 1
                         n



   Подобно (3.7) уравнение (3.11) является линейным однородным
дифференциальным уравнением первого порядка. Поэтому его реше-
ние также ищется в виде

                                  Ψ(x) = A eiλx                                (3.12)

с неизвестной в общем случае комплексной константой λ.
   Выражение (3.12) удовлетворяет условиям однозначности и непре-
рывности функции Ψ(x). Подстановка (3.12) в уравнение (3.11) превра-
щает его в алгебраическое уравнение

                                     px = }λ                                   (3.13)

с двумя неизвестными px и λ. Чтобы определить допустимые значения
λ, представим эту константу в явном комплексном виде:

                                  λ = λ0 + iµ0 ,

где λ0 и µ0 — вещественные. При таком представлении λ легко заме-
тить, что функция (3.12) будет конечной только при µ0 = 0, т.е. при
вещественных λ. Поэтому, в соответствии с (3.13), собственным значе-
нием проекции импульса будет произвольное вещественное число, т.е.
у оператора p̂x будет непрерывный спектр.
   Вычислим теперь нормировочную константу. В соответствии с
табл. 3.1, собственные функции оператора с непрерывным спектром
должны быть нормированы на δ-функцию:

Страницы