Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

42
Если известны наблюдаемые значения величины F в состоянии Ψ(ξ) и
вероятности их обнаружения, то в соответствии с теоремой о матема-
тическом ожидании для вычисления среднего значения можно исполь-
зовать выражение:
hF i =
X
n
F
n
w
n
=
X
n
F
n
|c
n
|
2
, (3.18)
которое эквивалентно (3.1).
Пример 3.8. Плоский ротатор приведен в состояние с волновой функ-
цией
Φ(ϕ) = A[1 + cos ϕ + cos 2ϕ]. (3.19)
Найти: наблюдаемые значения L
z
, вероятности их обнаружения,
hL
z
i, h(∆L
z
)
2
i.
Решение. Специфическая зависимость Φ(ϕ) позволяет решить задачу
алгебраическими методами на основе формулы Эйлера и результатов
примера 3..5. Вначале разложим функцию Φ(ϕ) по базису оператора
ˆ
L
z
[см. (1.13)]:
Φ(ϕ) = A
1 +
e
iϕ
+ e
−iϕ
2
+
e
2iϕ
+ e
−2iϕ
2
(1.11)
=
=
√
2π A
Ψ
0
(ϕ) +
Ψ
1
(ϕ)
2
+
Ψ
−1
(ϕ)
2
+
Ψ
2
(ϕ)
2
+
Ψ
−2
(ϕ)
2
. (3.20)
Выражение (3.20) приведено к виду (3.16) с ненулевыми коэффици-
ентами c
0
=
√
2π A, c
±1
= c
±2
=
r
π
2
A. Нормировочную константу
удобно найти из условия
X
m
|c
m
|
2
= 1,
Откуда A =
1
√
4π
; c
0
=
1
√
2
, c
±1
= c
±2
=
1
2
√
2
.
Таким образом, при измерении будут наблюдаться следующие зна-
чения L
z
: L
z,0
с вероятностью
1
2
и L
z,±1
= ±}, L
z,±2
= ±2} с одинако-
выми вероятностями w
±1
= w
±2
=
1
8
.
Средние значения вычисляются по формуле (3.18):
hL
z
i =
X
m
L
z,m
w
m
= 0.
                                          42


Если известны наблюдаемые значения величины F в состоянии Ψ(ξ) и
вероятности их обнаружения, то в соответствии с теоремой о матема-
тическом ожидании для вычисления среднего значения можно исполь-
зовать выражение:
                          X          X
                   hF i =   F n wn =    Fn |cn |2 ,          (3.18)
                              n                n

которое эквивалентно (3.1).
Пример 3.8. Плоский ротатор приведен в состояние с волновой функ-
цией
                  Φ(ϕ) = A[1 + cos ϕ + cos 2ϕ].             (3.19)
Найти: наблюдаемые значения Lz , вероятности их обнаружения,
hLz i, h(∆Lz )2 i.
Решение. Специфическая зависимость Φ(ϕ) позволяет решить задачу
алгебраическими методами на основе формулы Эйлера и результатов
примера 3..5. Вначале разложим функцию Φ(ϕ) по базису оператора
L̂z [см. (1.13)]:
                                             
                    eiϕ + e−iϕ    e2iϕ + e−2iϕ (1.11)
   Φ(ϕ) = A 1 +                +                 =
                         2              2
                                                          
          √                  Ψ1 (ϕ) Ψ−1 (ϕ) Ψ2 (ϕ) Ψ−2 (ϕ)
        = 2π A Ψ0 (ϕ) +              +         +       +     . (3.20)
                               2          2          2   2
Выражение (3.20) приведено к видуr (3.16) с ненулевыми коэффици-
             √                      π
ентами c0 = 2π A, c±1 = c±2 =         A. Нормировочную константу
                                    2
удобно найти из условия
                          X
                             |cm |2 = 1,
                                  m

               1          1               1
Откуда A = √ ; c0 = √ , c±1 = c±2 = √ .
                4π         2             2 2
   Таким образом, при измерении будут наблюдаться следующие зна-
                                 1
чения Lz : Lz,0 с вероятностью и Lz,±1 = ±}, Lz,±2 = ±2} с одинако-
                                 2
                                    1
выми вероятностями w±1 = w±2 = .
                                    8
   Средние значения вычисляются по формуле (3.18):
                                 X
                         hLz i =   Lz,m wm = 0.
                                      m

Страницы