Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

41
Z
+∞
−∞
Ψ
∗
p
0
x
(x)Ψ
p
x
(x) dx = |A|
2
Z
+∞
−∞
exp
i
}
x(p
x
− p
0
x
)
dx
(Г.20)
=
= 2π|A|
2
δ
p
x
− p
0
x
}
(Г.19)
= 2π}|A|
2
δ(p
0
x
− p
x
) = δ(p
0
x
− p
x
),
Откуда A = 1/
√
2π}.
Выпишем собственные функции оператора проекции импульса:
Ψ
p
x
(x) =
1
√
2π}
exp
i
}
p
x
x
. (3.14)
Предлагаем самостоятельно проверить свойства собственных функ-
ций и собственных значений ˆp
x
. Как и в случае с
ˆ
L
z
, спектр ˆp
x
будет
тоже невырожденным.
Пример 3.7. Найти собственные функции и собственные значения
оператора
ˆ
F
2
, зная базис и спектр оператора
ˆ
F .
Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что собствен-
ные функции не изменятся, а собственные значения возведутся в квад-
рат.
Следствие 1. Если невырожденные собственные значения операто-
ра
ˆ
F располагаются симметрично относительно нуля, то собственные
значения
ˆ
F
2
будут двукратно вырождены.
Следствие 2. Если функция f(z) допускает разложения в ряд Тей-
лора, а у оператора
ˆ
F известны базис и спектр, то
f(
ˆ
F )Ψ
n
(ξ) = f(F
n
)Ψ
n
(ξ). (3.15)
Проясним теперь смысл коэффициентов разложения произвольной
функции Φ(ξ) по базису оператора
ˆ
F (см. таблицу 3.1). Для определен-
ности ограничимся случаем дискретного спектра:
Φ(ξ) =
X
n
c
n
Ψ
n
(ξ). (3.16)
Функция Φ(ξ) задает такое состояние, в котором в общем случае
величина F не имеет определенного значения. Данный факт проявля-
ется в том, что при многократных измерениях получается некоторый
разброс наблюдаемых значений F . Каждое из них появляется с веро-
ятностью
w
n
= |c
n
|
2
. (3.17)
                                      41

  Z   +∞                          Z   +∞                    
                                               i                (Г.20)
       Ψ∗p0x (x)Ψpx (x) dx = |A|2          exp   x(px − p0x ) dx =
   −∞                              −∞          }
                                
                         p − p0x (Г.19)
             = 2π|A|2 δ x           = 2π}|A|2 δ(p0x − px ) = δ(p0x − px ),
                            }
                √
Откуда A = 1/ 2π}.
  Выпишем собственные функции оператора проекции импульса:
                                                
                                  1        i
                      Ψpx (x) = √    exp     px x .                      (3.14)
                                 2π}       }

   Предлагаем самостоятельно проверить свойства собственных функ-
ций и собственных значений p̂x . Как и в случае с L̂z , спектр p̂x будет
тоже невырожденным.                                                   

Пример 3.7. Найти собственные функции и собственные значения
оператора F̂ 2 , зная базис и спектр оператора F̂ .
Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что собствен-
ные функции не изменятся, а собственные значения возведутся в квад-
рат.                                                             
   Следствие 1. Если невырожденные собственные значения операто-
ра F̂ располагаются симметрично относительно нуля, то собственные
значения F̂ 2 будут двукратно вырождены.
   Следствие 2. Если функция f (z) допускает разложения в ряд Тей-
лора, а у оператора F̂ известны базис и спектр, то

                        f (F̂ )Ψn (ξ) = f (Fn )Ψn (ξ).                   (3.15)

   Проясним теперь смысл коэффициентов разложения произвольной
функции Φ(ξ) по базису оператора F̂ (см. таблицу 3.1). Для определен-
ности ограничимся случаем дискретного спектра:
                               X
                        Φ(ξ) =     cn Ψn (ξ).                   (3.16)
                                      n

   Функция Φ(ξ) задает такое состояние, в котором в общем случае
величина F не имеет определенного значения. Данный факт проявля-
ется в том, что при многократных измерениях получается некоторый
разброс наблюдаемых значений F . Каждое из них появляется с веро-
ятностью
                            wn = |cn |2 .                   (3.17)

Страницы