Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

43
Для вычисления среднеквадратичного отклонения воспользуемся ре-
зультатом примера (3..7):
h(∆L
z
)
2
i = hL
2
z
i − hL
z
i
2
= hL
2
z
i =
X
m
L
2
z,m
w
m
=
5
4
}
2
.
3.3. Совместная измеримость физических величин.
Соотношение неопределенностей
Физические величины
ˆ
F и
ˆ
G называются измеримыми совместно,
если существуют такие состояния, в каждом из которых будет измери-
ма как величина F , так и G. Математически это выражается в нали-
чии у операторов
ˆ
F и
ˆ
G общих собственных функций. Существование
общих собственных функций проверяется с помощью следующего кри-
терия:
необходимым и достаточным условием существования у линей-
ных
4
операторов общих собственных функций является коммутация
данных операторов.
У операторов неизмеримых совместно величин, естественно, общих
собственных функций нет. При совместном измерении таких величин в
произвольном состоянии всегда наблюдается разброс наблюдаемых зна-
чений. Величина этого разброса, характеризуемая среднеквадратичны-
ми отклонениями, удовлетворяет неравенству
h(∆F )
2
ih(∆G)
2
i >
1
4
hBi
2
, (3.21)
называемому соотношением неопределенностей Гейзенберга. Здесь
ˆ
B — самосопряженный оператор (см. задачу 21), определяемый из со-
отношения:
[
ˆ
F ,
ˆ
G] = i
ˆ
B. (3.22)
Все усреднения в (3.21) производятся в одном и том же состоянии.
Пример 3.9. Записать соотношение неопределенностей для декарто-
вой координаты и соответствующей проекции импульса.
Решение. Соответствующее соотношение неопределенностей может
быть получено с использованием выражения (2.17), которое по фор-
ме соответствует (3.22). Поэтому достаточно сделать в (3.21) замены:
4
Самосопряженность здесь не требуется!
                                       43


Для вычисления среднеквадратичного отклонения воспользуемся ре-
зультатом примера (3..7):
                                                   X                5 2
         h(∆Lz )2 i = hL2z i − hLz i2 = hL2z i =       L2z,m wm =     } .
                                                   m
                                                                    4

                                                                                


3.3.   Совместная измеримость физических величин.
       Соотношение неопределенностей
   Физические величины F̂ и Ĝ называются измеримыми совместно,
если существуют такие состояния, в каждом из которых будет измери-
ма как величина F , так и G. Математически это выражается в нали-
чии у операторов F̂ и Ĝ общих собственных функций. Существование
общих собственных функций проверяется с помощью следующего кри-
терия:
   необходимым и достаточным условием существования у линей-
ных4 операторов общих собственных функций является коммутация
данных операторов.
   У операторов неизмеримых совместно величин, естественно, общих
собственных функций нет. При совместном измерении таких величин в
произвольном состоянии всегда наблюдается разброс наблюдаемых зна-
чений. Величина этого разброса, характеризуемая среднеквадратичны-
ми отклонениями, удовлетворяет неравенству
                                               1
                         h(∆F )2 ih(∆G)2 i >     hBi2 ,                     (3.21)
                                               4
называемому соотношением неопределенностей Гейзенберга. Здесь
B̂ — самосопряженный оператор (см. задачу 21), определяемый из со-
отношения:
                          [F̂ , Ĝ] = iB̂.                  (3.22)
Все усреднения в (3.21) производятся в одном и том же состоянии.
Пример 3.9. Записать соотношение неопределенностей для декарто-
вой координаты и соответствующей проекции импульса.
Решение. Соответствующее соотношение неопределенностей может
быть получено с использованием выражения (2.17), которое по фор-
ме соответствует (3.22). Поэтому достаточно сделать в (3.21) замены:
  4 Самосопряженность   здесь не требуется!

Страницы