Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

54
где
ˆ
H — гамильтониан частицы.
Из доказанного ранее тождества (2.21) получаем соотношение:
hΨ
f
|[r,
ˆ
H]|Ψ
i
i =
i}
m
hΨ
f
|p |Ψ
i
i.
Преобразуем его левую сторону на основании стационарных уравнений
Шредингера (4.16) и самосопряженности гамильтониана:
hΨ
f
|r
ˆ
H|Ψ
i
i
(4.16)
= E
i
hΨ
f
|r|Ψ
i
i;
hΨ
f
|
ˆ
Hr|Ψ
i
i = hΨ
f
|
ˆ
H|rΨ
i
i
(2.34)
= hrΨ
i
|
ˆ
H|Ψ
f
i
∗
(4.16)
= E
f
hΨ
f
|r|Ψ
i
i.
Мы приходим к важному соотношению (4.15). Оно используется в ана-
литических преобразованиях, а также при проверке точности прибли-
женных решений уравнения Шредингера.
Задачи для самостоятельного решения
39. Плоский ротатор с моментом инерции J в момент времени t =
0 приведен в состояние с волновой функцией (3.19). Найти волновую
функцию в последующие моменты t > 0.
(Ответ: Ψ(ϕ, t) =
1
√
4π
1 + cos ϕ exp
−
i}t
2J
+ cos 2ϕ exp
−
2 i}t
J

.)
40. Могут ли состояния с нижеприведенными волновыми функциями
быть стационарными?
Ψ(ξ, t) = Φ(ξ) e
−i(ε−iγ)t
; Ψ(ξ, t) = Φ(ξ) e
−iεt
− Φ
∗
(ξ) e
iεt
;
Ψ(ϕ, t) =
A
2
1 − cos 2ϕ e
2i}t/α
; Ψ(ξ, t) = Φ
1
(ξ) e
−iεt
+ Φ
2
(ξ) e
−2iεt
;
Ψ(ξ, t) = Φ(ξ, t) e
−iEt/}
; Ψ(ξ, t) = Φ(ξ, t) e
b−iεt
.
Все константы предполагать вещественными.
41
∗
. Показать, что в волновом пакете из примера 1..3 уравнение непре-
рывности выполняется в любой момент времени.
42. Показать, что в стационарных состояниях финитного движения
среднее значение импульса равно нулю.
43
∗
. Обобщить задачу примера 4..10 на нестационарный случай.
                                         54


где Ĥ — гамильтониан частицы.
   Из доказанного ранее тождества (2.21) получаем соотношение:

                                              i}
                      hΨf | [r, Ĥ]|Ψi i =       hΨf | p |Ψi i .
                                              m
Преобразуем его левую сторону на основании стационарных уравнений
Шредингера (4.16) и самосопряженности гамильтониана:
                 (4.16)
   hΨf | r Ĥ|Ψi i = Ei hΨf | r|Ψi i ;
                                   (2.34)                    (4.16)
   hΨf | Ĥr|Ψi i = hΨf | Ĥ| rΨi i = hrΨi | Ĥ|Ψf i∗ = Ef hΨf | r|Ψi i .

Мы приходим к важному соотношению (4.15). Оно используется в ана-
литических преобразованиях, а также при проверке точности прибли-
женных решений уравнения Шредингера.                           


Задачи для самостоятельного решения

39. Плоский ротатор с моментом инерции J в момент времени t =
0 приведен в состояние с волновой функцией (3.19). Найти волновую
функцию в последующие моменты t > 0.                         
                    1                   i}t                2 i}t
(Ответ: Ψ(ϕ, t) = √     1 + cos ϕ exp −     + cos 2ϕ exp −          .)
                    4π                  2J                   J
40. Могут ли состояния с нижеприведенными волновыми функциями
быть стационарными?

       Ψ(ξ, t) = Φ(ξ) e−i(ε−iγ)t ; Ψ(ξ, t) = Φ(ξ) e−iεt − Φ∗ (ξ) eiεt ;
           A                     
 Ψ(ϕ, t) =     1 − cos 2ϕ e2i}t/α ; Ψ(ξ, t) = Φ1 (ξ) e−iεt + Φ2 (ξ) e−2iεt ;
           2
            Ψ(ξ, t) = Φ(ξ, t) e−iEt/} ; Ψ(ξ, t) = Φ(ξ, t) eb−iεt .

Все константы предполагать вещественными.
41∗ . Показать, что в волновом пакете из примера 1..3 уравнение непре-
рывности выполняется в любой момент времени.
42. Показать, что в стационарных состояниях финитного движения
среднее значение импульса равно нулю.
43∗ . Обобщить задачу примера 4..10 на нестационарный случай.

Страницы