Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

53
Легко заметить, что плотность вероятности (4.12) по-прежнему име-
ет форму гауссовой кривой с той же скоростью движения максимума.
Однако ее ширина теперь увеличивается с течением времени по закону
x
0
(t) = x
0
q
1 + [}t/(mx
2
0
)]
2
.
В начальные моменты времени скорость такого “расплывания” можно
считать постоянной и равной }/(mx
0
).
Соотношение неопределенностей для такого пакета будет выпол-
няться в любой момент времени.
Пример 4.9. Доказать теорему Гельмана–Фейнмана: если гамиль-
тониан стационарной системы зависит от параметра λ, то в про-
извольном стационарном состоянии с энергией E
*
∂
ˆ
H
∂λ
+
=
∂E
∂λ
. (4.13)
Решение. Вначале формально продифференцируем стационарное урав-
нение Шредингера (4.7) по параметру λ, затем домножим его слева на
Ψ
∗
(ξ) и проинтегрируем по ξ с учетом нормировки Ψ(ξ) на 1:
hΨ|
∂
ˆ
H
∂λ
|Ψi + hΨ|
ˆ
H
∂Ψ
∂λ
=
∂E
∂λ
+ E hΨ
∂Ψ
∂λ
. (4.14)
Воспользуемся теперь самосопряженностью гамильтониана:
hΨ|
ˆ
H
∂Ψ
∂λ
(2.34)
=
∂Ψ
∂λ
ˆ
H |Ψi
∗
(4.7)
= E
∂Ψ
∂λ
Ψi
∗
(2.34)
= E hΨ
∂Ψ
∂λ
.
Теперь вторые слагаемые в обеих частях равенства (4.14) уничтожают-
ся и мы приходим к (4.13).
Пример 4.10. У частицы с массой m имеются стационарные состо-
яния Ψ
i
(r) и Ψ
f
(r) с энергиями E
i
и E
f
соответственно. Доказать
соотношение:
hΨ
f
|
ˆ
p |Ψ
i
i = imω
fi
hΨ
f
|r |Ψ
i
i, (4.15)
где ω
fi
= (E
f
− E
i
)/}.
Решение. Из условия задачи следует, что
ˆ
HΨ
i
(r) = E
i
Ψ
i
(r);
ˆ
HΨ
f
(r) = E
f
Ψ
f
(r), (4.16)
                                       53


Легко заметить, что плотность вероятности (4.12) по-прежнему име-
ет форму гауссовой кривой с той же скоростью движения максимума.
Однако ее ширина теперь увеличивается с течением времени по закону
                               q
                    x0 (t) = x0 1 + [}t/(mx20 )]2 .

В начальные моменты времени скорость такого “расплывания” можно
считать постоянной и равной }/(mx0 ).
   Соотношение неопределенностей для такого пакета будет выпол-
няться в любой момент времени.                                

Пример 4.9. Доказать теорему Гельмана–Фейнмана: если гамиль-
тониан стационарной системы зависит от параметра λ, то в про-
извольном стационарном состоянии с энергией E
                         *      +
                           ∂ Ĥ     ∂E
                                  =    .                (4.13)
                           ∂λ       ∂λ


Решение. Вначале формально продифференцируем стационарное урав-
нение Шредингера (4.7) по параметру λ, затем домножим его слева на
Ψ∗ (ξ) и проинтегрируем по ξ с учетом нормировки Ψ(ξ) на 1:
                                                      
                 ∂ Ĥ              ∂Ψ     ∂E        ∂Ψ
             hΨ|      |Ψi + hΨ| Ĥ      =    + E hΨ      .   (4.14)
                 ∂λ                ∂λ     ∂λ        ∂λ
Воспользуемся теперь самосопряженностью гамильтониана:
                                                       
          ∂Ψ (2.34) ∂Ψ         ∗ (4.7)   ∂Ψ   ∗ (2.34) ∂Ψ
   hΨ| Ĥ       =        Ĥ |Ψi = E         Ψi = E hΨ       .
          ∂λ         ∂λ                  ∂λ            ∂λ
Теперь вторые слагаемые в обеих частях равенства (4.14) уничтожают-
ся и мы приходим к (4.13).                                       

Пример 4.10. У частицы с массой m имеются стационарные состо-
яния Ψi (r) и Ψf (r) с энергиями Ei и Ef соответственно. Доказать
соотношение:
                     hΨf | p̂ |Ψi i = imωf i hΨf | r |Ψi i , (4.15)
где ωf i = (Ef − Ei )/}.
Решение. Из условия задачи следует, что

               ĤΨi (r) = Ei Ψi (r);        ĤΨf (r) = Ef Ψf (r),   (4.16)

Страницы