Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

51
Решение. Гамильтониан вращательного движения ротатора можно по-
лучить по аналогии с гамильтонианом поступательного движения ма-
териальной точки. Для этого в классической функции Гамильтона для
плоского ротатора H =
L
2
z
2I
заменим L
z
→
ˆ
L
z
. Теперь можно записать
стационарное уравнение Шредингера для ротатора и привести его к
виду:
ˆ
L
2
z
Ψ(ϕ) = 2IEΨ(ϕ).
На основании примеров 3..5 и 3..7 получаем решение:
E
m
=
}
2
m
2
2I
; Ψ
m
(ϕ) =
e
imϕ
√
2π
, m = 0, ±1, . . .
Все стационарные состояния, за исключением основного, двукратно вы-
рождены. Это связано с двумя возможными направлениями вращения
ротатора вокруг закрепленной оси.
Пример 4.7. Система с не зависящим от времени гамильтонианом в
начальный момент времени находилась в состоянии с волновой функ-
цией Ψ(ξ, 0). Найти волновую функцию этой системы в последующие
моменты времени Ψ(ξ, t > 0). Энергетический спектр и базис систе-
мы предполагаются известными.
Решение. Разложим Ψ(ξ, 0) по базису стационарных состояний системы
и используем их зависимостью от времени (4.6):
Ψ(ξ, t > 0) =
X
n
c
n
Ψ
n
(ξ) exp
−
i
}
E
n
t
. (4.9)
Здесь
ˆ
HΨ
n
(ξ) = E
n
Ψ
n
(ξ); c
n
=
Z
Ψ
∗
n
(ξ)Ψ(ξ, 0) dξ.
Пример 4.8. Состояние свободной частицы массы m в начальный
момент времени задается волновым пакетом из примера 1..3. Пока-
зать, что с течением времени пакет “расплывается”. Найти закон
“расплывания”.
Решение. В момент t = 0 плотность вероятности местоположения будет
гауссовой с шириной x
0
. Ее максимум будет двигаться со скоростью
}k
0
/m, совпадающей со средней классической скоростью частицы (в
волновой оптике такая скорость называется групповой).
                                    51


Решение. Гамильтониан вращательного движения ротатора можно по-
лучить по аналогии с гамильтонианом поступательного движения ма-
териальной точки. Для этого в классической функции Гамильтона для
                       L2z
плоского ротатора H =       заменим Lz → L̂z . Теперь можно записать
                       2I
стационарное уравнение Шредингера для ротатора и привести его к
виду:
                        L̂2z Ψ(ϕ) = 2IEΨ(ϕ).
На основании примеров 3..5 и 3..7 получаем решение:

                 }2 m 2              eimϕ
          Em   =        ;   Ψm (ϕ) = √ ,            m = 0, ±1, . . .
                  2I                   2π
Все стационарные состояния, за исключением основного, двукратно вы-
рождены. Это связано с двумя возможными направлениями вращения
ротатора вокруг закрепленной оси.                                

Пример 4.7. Система с не зависящим от времени гамильтонианом в
начальный момент времени находилась в состоянии с волновой функ-
цией Ψ(ξ, 0). Найти волновую функцию этой системы в последующие
моменты времени Ψ(ξ, t > 0). Энергетический спектр и базис систе-
мы предполагаются известными.
Решение. Разложим Ψ(ξ, 0) по базису стационарных состояний системы
и используем их зависимостью от времени (4.6):
                                                  
                             X                i
               Ψ(ξ, t > 0) =   cn Ψn (ξ) exp − En t .          (4.9)
                             n
                                              }

Здесь                                      Z
            ĤΨn (ξ) = En Ψn (ξ);   cn =       Ψ∗n (ξ)Ψ(ξ, 0) dξ.

                                                                       

Пример 4.8. Состояние свободной частицы массы m в начальный
момент времени задается волновым пакетом из примера 1..3. Пока-
зать, что с течением времени пакет “расплывается”. Найти закон
“расплывания”.
Решение. В момент t = 0 плотность вероятности местоположения будет
гауссовой с шириной x0 . Ее максимум будет двигаться со скоростью
}k0 /m, совпадающей со средней классической скоростью частицы (в
волновой оптике такая скорость называется групповой).

Страницы