Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

52
Задачу решаем на основе предыдущего примера. Вначале найдем
эволюцию волнового пакета во времени. Энергетический спектр здесь
будет непрерывным, а в качестве базисных функций удобно использо-
вать (3.14):
Ψ(x, t > 0)
(4.9)
=
Z
+∞
−∞
c(p)Ψ
p
(x) exp
−
i
}
Et
dp
(3.14)
=
=
1
√
2π
Z
+∞
−∞
c(p) exp
i
}
px −
i}t
2m
p
2
dp, (4.10)
т.е. пакет представляется в виде суперпозиции плоских волн де Бройля.
Коэффициенты
c(p) =
Z
+∞
−∞
Ψ
∗
p
(x)Ψ(x, 0) dx =
=
1
p
2πx
0
√
π
Z
+∞
−∞
exp
−
x
2
2x
2
0
+ ik
0
x −
i
}
px
dx.
После выделения полного квадрата в показателе экспоненты последний
интеграл приводится к виду (А.4), так что
c(p) =
s
}
x
0
√
π
exp
−
x
2
0
2
p
}
− k
0
2
. (4.11)
Постановка (4.11) в (4.10) и интегрирование в соответствии с (А.4),
(А.5) приводят к явному виду волновой функции частицы:
Ψ(x, t > 0) =
1
p
x
0
√
πf(t)
exp
"
−
x
2
− 2 ix
2
0
k
0
x + i
}t
m
k
2
0
x
2
0
2x
2
0
f(t)
#
,
где
f(t) = 1 + i
}t
mx
2
0
.
Получим теперь закон изменения плотности вероятности с течением
времени:
w(x, t) = |Ψ(x, t)|
2
=
=
1
x
0
√
π
1 +
}t
mx
2
0
2
1/2
exp
−
x −
}k
0
m
t
2
1 +
}t
mx
2
0
2
. (4.12)
                                                     52


   Задачу решаем на основе предыдущего примера. Вначале найдем
эволюцию волнового пакета во времени. Энергетический спектр здесь
будет непрерывным, а в качестве базисных функций удобно использо-
вать (3.14):
                            Z   +∞                        
                    (4.9)                             i          (3.14)
  Ψ(x, t > 0) =                      c(p)Ψp (x) exp − Et dp =
                                −∞                    }
                                              Z +∞                           
                                          1                   i         i}t 2
                                      =√           c(p) exp     px −       p dp,            (4.10)
                                          2π −∞               }         2m
т.е. пакет представляется в виде суперпозиции плоских волн де Бройля.
Коэффициенты
           Z   +∞
  c(p) =             Ψ∗p (x)Ψ(x, 0) dx =
               −∞
                                                     Z   +∞                      
                                          1                         x2         i
                                 =p         √                 exp − 2 + ik0 x − px dx.
                                        2πx0 π           −∞        2x0         }
После выделения полного квадрата в показателе экспоненты последний
интеграл приводится к виду (А.4), так что
                      s            2
                          }          x0 p      2 
               c(p) =     √ exp −         − k0      .        (4.11)
                        x0 π          2 }

Постановка (4.11) в (4.10) и интегрирование в соответствии с (А.4),
(А.5) приводят к явному виду волновой функции частицы:
                                   "                               #
                                        2        2          }t 2 2
                        1             x   − 2 ix   k
                                                 0 0  x + i   k x
                                                            m 0 0
       Ψ(x, t > 0) = p √        exp −               2                ,
                      x0 πf (t)                 2x0 f (t)
где
                                   }t
                                       . f (t) = 1 + i
                                  mx20
Получим теперь закон изменения плотности вероятности с течением
времени:

  w(x, t) = |Ψ(x, t)|2 =
                                                                                       
                                                                                   2
                                         1                             x − }k
                                                                             m
                                                                               0
                                                                                 t    
                     =                                       exp − 
                                                                                 2 
                                                                                     .    (4.12)
                              √                    2 1/2                
                                                                             }t
                            x0 π 1 +          }t                       1 + mx2
                                             mx20                              0

Страницы