Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

58
Решение. Задачу удобно решать в цилиндрических координатах
(ρ, ϕ, z), когда потенциальная функция не зависит от полярного угла
[V (r) = V (ρ, z)]. Рекомендуем самостоятельно получить гамильтониан
частицы массой m в аксиально-симметричном поле:
ˆ
H = −
}
2
2m
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ
+
1
ρ
2
∂
2
∂ϕ
2
+
∂
2
∂z
2
| {z }
∇
2
+V (ρ, z). (5.9)
В цилиндрических координатах, подобно сферическим,
ˆ
L
z
опреде-
ляется соотношением (2.31) (показать самостоятельно) и не содержит
явной зависимости от времени, поэтому достаточно доказать коммута-
цию (2.31) и (5.9). Отсутствие зависимости V (ρ, z) от полярного угла в
цилиндрических координатах очевидным образом приводит к обраще-
нию в нуль коммутатора [
ˆ
H,
ˆ
L
z
] с гамильтонианом (5.9).
Пример 5.6. Показать, что в сферически-симметричных (централь-
ных) силовых полях квадрат орбитального момента является инте-
гралом движения.
Решение. Задачу удобно решать в сферических координатах (r, θ, ϕ),
когда потенциальная функция не зависит от полярного угла [V (r) =
V (r)]. Рекомендуем самостоятельно получить гамильтониан частицы
массой m в центральном поле:
ˆ
H = −
}
2
2m
"
1
r
2
∂
∂r
r
2
∂
∂r
+
ˆ
L
2
r
2
#
| {z }
∇
2
+V (r). (5.10)
Вид оператора L
2
в сферических координатах дается выражением
(2.32) и не содержит явной зависимости от времени, поэтому достаточ-
но доказать коммутацию (2.32) и (5.10). Отсутствие зависимости V (r)
от сферических углов в сферических координатах очевидным образом
приводит к обращению в нуль коммутатора [
ˆ
H,
ˆ
L
2
] с гамильтонианом
(5.10).
Как видим, условия сохранения рассмотренных величин такие же,
как и в классической механике.
Исследуем теперь условия сохранения типично квантовой величи-
ны — четности.
Пример 5.7. Показать, что если потенциальная энергия является
                                  58


Решение. Задачу удобно решать в цилиндрических координатах
(ρ, ϕ, z), когда потенциальная функция не зависит от полярного угла
[V (r) = V (ρ, z)]. Рекомендуем самостоятельно получить гамильтониан
частицы массой m в аксиально-симметричном поле:
                                               
                    }2 1 ∂      ∂       1 ∂2   ∂2
            Ĥ = −            ρ      + 2      + 2 +V (ρ, z).    (5.9)
                    2m ρ ∂ρ     ∂ρ      ρ ∂ϕ2  ∂z
                       |             {z           }
                                  ∇2


   В цилиндрических координатах, подобно сферическим, L̂z опреде-
ляется соотношением (2.31) (показать самостоятельно) и не содержит
явной зависимости от времени, поэтому достаточно доказать коммута-
цию (2.31) и (5.9). Отсутствие зависимости V (ρ, z) от полярного угла в
цилиндрических координатах очевидным образом приводит к обраще-
нию в нуль коммутатора [Ĥ, L̂z ] с гамильтонианом (5.9).            

Пример 5.6. Показать, что в сферически-симметричных (централь-
ных) силовых полях квадрат орбитального момента является инте-
гралом движения.
Решение. Задачу удобно решать в сферических координатах (r, θ, ϕ),
когда потенциальная функция не зависит от полярного угла [V (r) =
V (r)]. Рекомендуем самостоятельно получить гамильтониан частицы
массой m в центральном поле:
                          "                   2#
                        2
                      }     1 ∂     2 ∂      L̂
               Ĥ = −             r        +       +V (r).  (5.10)
                      2m r2 ∂r        ∂r     r2
                          |          {z          }
                                   ∇2

Вид оператора L2 в сферических координатах дается выражением
(2.32) и не содержит явной зависимости от времени, поэтому достаточ-
но доказать коммутацию (2.32) и (5.10). Отсутствие зависимости V (r)
от сферических углов в сферических координатах очевидным образом
                                                2
приводит к обращению в нуль коммутатора [Ĥ, L̂ ] с гамильтонианом
(5.10).                                                           
   Как видим, условия сохранения рассмотренных величин такие же,
как и в классической механике.
   Исследуем теперь условия сохранения типично квантовой величи-
ны — четности.
Пример 5.7. Показать, что если потенциальная энергия является

Страницы