Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

59
четной функцией координат, то четность будет интегралом движе-
ния.
Решение. Запишем гамильтониан частицы массы m в поле V (r) =
V (−r) для удобства в следующем виде:
ˆ
H(r) = −
}
2
2m
∂
2
∂r
2
+ V (r). (5.11)
В соответствии с таблицей 2.1 четность изображается оператором
инверсии, который не содержит явной зависимости от времени. Поэто-
му достаточно доказать его коммутацию с гамильтонианом (5.11), при-
нимая во внимание четность V (r). Подействуем коммутатором [
ˆ
H(r),
ˆ
I]
на произвольную функцию Ψ(r):
[
ˆ
H(r),
ˆ
I]Ψ(r) ≡
ˆ
H(r)
ˆ
IΨ(r)−
ˆ
I
ˆ
H(r)Ψ(r) =
ˆ
H(r)Ψ(−r)−
ˆ
H(−r)Ψ(−r) =
= −
}
2
2m
∂
2
Ψ(−r)
∂r
2
+ V (r)Ψ(−r) +
}
2
2m
∂
2
Ψ(−r)
∂(−r)
2
− V (−r)Ψ(−r) =
= [V (r) − V (−r)]Ψ(−r).
При условии V (r) = V (−r) данное выражение тождественно обраща-
ется в нуль, что и доказывает коммутацию
ˆ
H(r) и
ˆ
I.
Верны и обратные утверждения.
Состояния квантовой системы целесообразно выбирать так, чтобы
оно характеризовалось максимальным числом независимых совместно
измеримых интегралов движения (их полным набором). Число элемен-
тов в полном наборе равно числу степеней свободы квантовой системы.
Задачи для самостоятельного решения
44. Показать, что для частицы, движущейся в постоянном однородном
поле действия силы f , величина F = p − f t будет интегралом движе-
ния.
45. Доказать следующие свойства полной производной:
d
dt
(α
ˆ
F ) = α
d
ˆ
F
dt
;
d
dt
(
ˆ
F +
ˆ
G) =
d
ˆ
F
dt
+
d
ˆ
G
dt
;
                                   59


четной функцией координат, то четность будет интегралом движе-
ния.
Решение. Запишем гамильтониан частицы массы m в поле V (r) =
V (−r) для удобства в следующем виде:

                                  }2 ∂ 2
                      Ĥ(r) = −           + V (r).              (5.11)
                                  2m ∂r 2
   В соответствии с таблицей 2.1 четность изображается оператором
инверсии, который не содержит явной зависимости от времени. Поэто-
му достаточно доказать его коммутацию с гамильтонианом (5.11), при-
                                                                   ˆ
нимая во внимание четность V (r). Подействуем коммутатором [Ĥ(r), I]
на произвольную функцию Ψ(r):

          ˆ
  [Ĥ(r), I]Ψ(r)        ˆ
                 ≡ Ĥ(r)IΨ(r)− IˆĤ(r)Ψ(r) = Ĥ(r)Ψ(−r)−Ĥ(−r)Ψ(−r) =
        }2 ∂ 2 Ψ(−r)                }2 ∂ 2 Ψ(−r)
   =−                + V (r)Ψ(−r) +               − V (−r)Ψ(−r) =
        2m     ∂r 2                 2m ∂(−r)2
                                            = [V (r) − V (−r)]Ψ(−r).

При условии V (r) = V (−r) данное выражение тождественно обраща-
                                                 ˆ
ется в нуль, что и доказывает коммутацию Ĥ(r) и I.           
   Верны и обратные утверждения.
   Состояния квантовой системы целесообразно выбирать так, чтобы
оно характеризовалось максимальным числом независимых совместно
измеримых интегралов движения (их полным набором). Число элемен-
тов в полном наборе равно числу степеней свободы квантовой системы.

Задачи для самостоятельного решения

44. Показать, что для частицы, движущейся в постоянном однородном
поле действия силы f , величина F = p − f t будет интегралом движе-
ния.
45. Доказать следующие свойства полной производной:

                      d             dF̂
                         (αF̂ ) = α     ;
                      dt             dt
                      d               dF̂   dĜ
                         (F̂ + Ĝ) =      +     ;
                      dt              dt    dt

Страницы